它确为(D)~(D3)的逻辑推论,但其证明有赖于LS度与 Brow er度的某种程度的展开,只好从略 (D4)表明,若d(f,,y)≠0,则方程f(x)=y在内有解,度 的应用价值主要基于此.(D5)(D)表明d(f,,y)连续地依赖于 ∫,y,通常利用这一点来筒化度的计算.例如,用(D)可得如下结 果 1.3.3命题设F∈SC(9),x∈Q,Fx0=x,A=F(x)存在 且不以1为特征值,则对适当小的r>0有 d(I-F,B,(x0),0)=d(I-A,B1(0),0) (1) 证不妨设x=0.因A∈SC(1.2.3),故(I-A)(B1(0)闭 (1.24),这结合A无特征值1得出2e仝inf|x-Ax|>0.取r>0 充分小,使当|x|≤r时|Fx-Ax|≤e|x|.于是vx∈aB1(0): Fx-Ar!≤lx=er<er≤|x-Ax,因此由(D3)得出(1).口 在本章及下章中引用的)(1≤≤7总是指1.3.1与1.3.2 中所述的度性质而不另作说明 应用度理论于方程问题的一种简单方式是:指明d(f,a,y) ∑d(f,m,y)(=1,2)且d(,n,y)与d(f,n1;y)分别为1,0 (或0,1),由此得出d(f,2,y)≠0,于是方程f(x)=y在D2中有 解.因此判定d(f,,y)=1或0有其重要性,以下两个定理正为 此而设 13.4定理设x∈9,cDcX,F=I-f∈SC(D)以下 每个条件蕴涵d(fa,0)=1: (H1) Leray- Schauder条件(IS):(A,x)∈J×a→x-x≠ A(FI-xo) (H2)=B(x0),>0充分小,Fxo=x,A=F"(z0)存在且元 ≥1的实特征值; (H3)D=X,=B(0),P>0充分大,B=F(∞)存在且无≥ 1的实特征值; 11
(H4)Hx∈a:|Fx-xk≤|x-x|且Fx≠x 证可设xo=0.当条件(H1)满足时由(D3)(D2)有 d(f,2,0)=d(I-tF,,0)=d(I,,0)=1(t∈J) 若条件(H2)满足,则由13.3有d(f,,0)=d(I-A,3,0).A无 ≥1的特征值→A满足(IS)(取x=0),因此d(1-A,Q,0)=1. 类似于1.3.3可证(H3)→d(f,,0)=d(I-B,,0)=1.最后,显 然(H4)→(H1) 1.3.5定理设F=I一f∈SC(),则以下每个条件蕴涵 d(f,,0)=0 (H1)3c∈X{0}:f(a0)∩R+e=; H2)∫(am)含于X的某真子空间,0∈f(a0); (H3)dim=0,F∈%;d(0,Fa))>0,Vλ≥1:a2们 Fix(AF)=② (H4dmX=∞,F∈%,0∈m,vx∈a:x|≤|Fx|且Fx 证令F=F十te,则条件(H1)推出a∩Fix(F=(t≥ 0);而当t充分大时∩FxF=团,于是由(D3)(D2)有d(f,2,0) =d(I-F,0)=0.其次显然(H2)→(H1) 若条件(H3满足,则 EAinf(|tx-Fx1:(t,x)∈J×a}>0 (否则有(tn,x)∈J×:t1xn-Fxn→0.可设t+t∈J,Fxn→y.由 d(0,F(a2)>0推出y≠0,于是抄>0,x→x=!1ya,t=Fx, 与a∩Fix(tF)=必矛盾).由1.2.6,有有限维空子空间YCX 与G∈C(,Y):F-G|<E取e∈XY(dimX=0用于此!),令 z=span(YUte}),h(t,x)=tx-Gx,(x)∈J×2,则当(t,x)∈ J×a时h(t;x)|≥|tx-Fx-!F一G|>0,于是由(D5)(D) D3)有 d(f,,0)=d(I一G,2,0)=d(-G,Z∩D,0) =d(hZ∩3,0)=d(-G,z∩,0) 12
用条件(H2)得出d(-G,Z∩a,0)=0.最后,显然(H4)→(H3) §4不动点定理 无论在理论上或在方法上,将方程问题转化为不动点问题是 可取的,而且已成为一种通行的模式不动点定理作为一类基本的 分析工具已确立其牢固地位 约定FxF记映射F的不动点集,即FxF={x:Fx=x}.显然 FixF=(I-F)-1(0),因此若d(I-F,,0)≠0,则9∩FxF≠ 这一简单事实乃是由度理论导出不动点定理的基本依据从方法 上考虑,在形成实用的不动点定理时,必须提炼出某些便于验证的 条件,而避开度的直接计算一个基于1.3.4的基本结果是: 1.4.1定理( Leray- Schauder)设∈X为有界开集,0∈2, F∈SC().若(λ,x)∈(0,1)a2→x≠AFx,则门FixF≠ 1.4I中的条件“(,x)∈(0,1)Xa→x≠Fx”可代以如下 条件之 (i) Rothe条件:|Fx|≤|x(x∈a,下同); (i) Altman条件:|Fx|2≤|x|2+|x-Fx|2; (i) Krasnoselskii条件:X是 Hilbert空间,(Fx,x)≤|x|2. 1.4.1是形式上很简单而具足够强度的不动点定理之一.不 过,其条件之验证并不总是容易的.有时我们希望使用形式上更简 单或直观上更明确的结果.下面的定理正合此要求 1.4.2定理设DCX是有界闭凸集,F∈SC(D),F(aD)C D,则FixF≠ 证首先设仝D°≠Q,不妨设0∈.F必满足1.4.1之条 件.否则有λ∈(0,1),x∈aCa:1x=Fx∈D.若y充分邻近 x,则z(y-x)/∈D,于是y=AFx+z∈D,因而x∈D°,与x ∈aD矛盾.于是FixF≠② 13
其次设D°=,于是FDCD.若F∈x,则由12.5有F的 紧扩张F:X→X, FXCCOFDCD.取B,(0)D,对F|B(0)应用 上段结论得FixF=FxF≠C.若F%,取x∈D,令β=(A:xo ∈ACD,A闭凸,FACA},则D∈;B∩A∈P;CAco({x0}U A∈P FB)∈B.易见B=C,因此a(B)=a(FB)≤α(F)a(B),这推出 a(B)=0从而B紧.对F:BB应用已证结论得FixF≠Q.口 142涵盖了好几个著名的不动点定理 I43推论设DCX为有界闭凸集F∈C(D,D),则以下 每个条件蕴涵FixF≠:()a(F)<1;(i)F∈%;(i)D紧;(iv) X=R 注1.4.3中条件(i)(i)(iv)分别对应 Darbo定理、 Schauder 定理与 Brouwer定理,它们是最常用的不动点定理之一.其中 Darbo定理可称之为“集压编映射原理”,它是“压编映射原理 (1.2.1)的优美类似 称拓扑空间T有不动点性质(FPP),若ⅤF∈C(T,T):FixF ≠.1.43表明 Banach空间中的紧凸集有FPP;有界闭凸集却 未必如此 .4.4例无限维 Hilbert空间X中的闭单位球B没有 FPP可设X=12,定义 F:2→l2,x=(x)卜(1-|x!,x1;x2,), 则易验证F∈C(B,B),F没有不动点 以下结果给出应用1.4.1的一种常见形式 1.4.5定理( Leray-Schauder)设F:X→X在有界集上为 SC,P=sup{xl:3k∈(0,1),使x=Fx}<∞,则B(0)∩FixF ≠ 证n≥1,对F|B(0,p+n-1)应用1.41得出A仝B(0,P 十n-1)∩FxF≠Q.因FixF=(I-F)(0),由1.24知A紫,因 此B(0)∩FxF=∩A,≠⑧ ·14·
在1.4.1~1.4.3及1.4.5的许多具体应用中,验证F全连 续是不成问题的如果F非全连续而试图验证F∈SC,除了一些 简单的特殊情况外,可能遇到计算非紧测度的因难.Mnch ([123],1980)的两个结果以很独特的方式避开了这类困难 14.6定理设DCX闭凸,F∈C(D,D)满足条件 H1)凡使C=co({x}∪FC)的可数集CCD相对紧,其中 ∈D固定,则FixF≠Q. 证令A={x0},An+1=co({x}∪FAn)(n≥0),则{A,}是紧 凸集的升列,令A=UAn,则A闭凸,且FACA=co(x}UFA) 取可数集 CCA,使C=An,令C=UCn,则C=A.于是 co(EoU FC)Cco(xo)U FA)Cco(To)U FC), 可见C=co({x}∪FC).由条件(H1),C紧.对F:A→A应用 1.43得出FⅸxF≠⑧ 1.47定理设CX是有界开集,F∈C(,X),x∈D,(λ x)∈J×a→x-x0≠A(Fx-x0).若F满足条件 (H2)凡使CCco({x0}UFC)的可数集CC相对紧,则FixF 我们略去这个定理的证明.所宜注意者,1.4.6与1.4,7分别 蕴涵了 Darbo定理与1.4.1,而其本身的陈述完全不涉及非紧测 度! §5积分方程 现在转入应用前述结果的某些实例.首先考虑如下积分方程 r(t)= f(e, s, x(s))ds A Fx(t) 其中ds记dH(s),P是紧 Hausdorff空间T上的正则测度,r>0; f:TXT×X→X.有很多近代工作涉及用度与不动点方法研究方 程(1)的可解性.较精细的结果自然有赖于对T与∫的较具体的 15