定F是 a-lipschitz映射<→a(F)<∞;F是集压编映射←→a(F) 1若a(F)=0(心F映有界集为相对紧集),则称E为全连续 驶射;若FD相对紧则称F为紧映射分别以SC与记集压缩 映射类与紧映射类;SC(D)记从D到X的集压缩映射之全体, (D)仿此 若F映有界集为有界集,则称F为有界映射.显然a(F< F为有界映射若dimY<∞,则F∈C(D,y)全连续→F有界 若dimX<∞且D闭,则F:D→Y全连续←>F连续.可见全连续 更不必说集压缩映射概念本质上是为无限维空间中的映射而设 的 a(·)的以下性质虽然简单但很有用, 1.22命题(i)a(FA)≤Q(F)a(A)(AcD).(i)半范性: a(F+G)≤a(F)+a(G),a(F)=|Aa(F).(i)次乘法性:a(G F)≤a(G)a(F)以上假定F+G,G。F有意义.(iv)a(F)≤LipF 对于T∈L(X,Y);由1.2.2(iv)有a(T)≤LipT=|Tl;T是 紧线性算子→(T=0.约定CL(X)={T∈L(X):a(T)=0}. 1.23命题若x∈D°,T=F(x),或T=F(∞)(这意味着 T∈L(x,Y),当|x|→∞时Fx有定义且|Fx-Tx=o(|x),则 a()≤a(F).特别,当F全连续时T是紧线性算子 证首先设T=F(x),x∈D,VE>0,取b>0,使当|h|≤♂ 时|AF(x,h)-Th≤Eh|.任给有界集ACx,取r>0:AC B(0),则r-4δACB(0),于是 7(4c(x+1-Fz+B(0 a(TA)≤ x+Al+2Ed (F4+)+2c=(F(+2 令ε￥0得a(TA)≤a(F)a(A),因此a(T)≤a(F) 其次设T=F(∞).VE>0,取p>0,使当|x|≥P时Fx-Tx
≤E|x|.仍设ACB,(0),令A'=A∩Bn(0),A"=A\A.显然 a(TA)≤2|T|e.由“x∈pE1A"→|x|≥P”得T(Pe1A")c F(pe-A")+Bm(0),于是 a(TA)≤a(F|2A"+2 ≤a(F)a(A)+2re 因此a(TA)≤a(F)a(A)+2e(r+|T|),这同样得出所要证.口 I.2.4命题设F=-f:D→X是集压缩的,D是有界闭 集,KCX紧,ACD闭,则∫K紧而fA闭 证若C仝∫K非紧,则a(C)>0,这与CCFC+K一起推 出a(C)≤a(FC)<a(C),得出矛盾.若xn∈A,f(x)→y,则M仝 f(x):n≥1}∪{y}紧,从而∫1M紧,于是有xn1→x∈A,因此y f(x)∈fA.这证得∫A闭 1.2.5扩张定理设F∈C(D,Y),DCX闭.(F有扩张F ∈C(X,Y),使得芦 XCcoFD;当F∈%时亦必F∈%.(i)若F 全连续,则F有全连续的扩张F:X→Y,使得 FXCcOFD(ii)若 D=B,(x),或D闭凸而X为 Hilbert空间,则F有扩张F ∈C(x,F),使得FX=FD,且a(F)=a(F) 证(i)令r2=2-d(x,D),则{B(x,r):z∈D}是D的开覆 盖,于是有D的局部有限开覆盖{U},使得UCB(xa,r),z∈ D,a=r(这用到m的仿繁性,参考[97;Ch.4])取x∈D∩ B(za,3r)令%(x)=d(x,U).定义 P(x)Fx ∈D (3) 而置FD=F,则F:x→Y是F的扩张,且 FX CcOFD,F在D 内连续.今迸P在任一点a∈D连续,e>0,取δ>0:F(D∩ B3(a)cB2(Fa).x∈D∩B(a),设x∈Ua, x-a|≤|x-z|+|z-x|+δ<4.+8<56, 从而Fx∈B1(Fa).于是依(3)有Fx∈B1(Fa),因此FB(a)C
B Fa) (i)令B=B(0),D2=DUB,不妨设D∩B1≠.由已证之 (i),F|D∩B1有扩张F1∈C(X,Y):F1 XCcOF(D∩B1)依F1|D F,F1B1=F1B1定义出F的扩张F1;D1→Y,F1D2 CECoFD,F1 全连续.同理,F1有全连续扩张F2:D2→Y,F2D2Cc0F1D1C coFD…如此得一序列{Fn}.依F|Bn=Fn|Bn(n=1,2,…)定义 的F:x→Y即合所求 ii)若存在从X到D的收缩P(即P∈C(x,D),P|D=id), 使得(P)≤1,则F=FP显然合于要求对D=B(x。),取P为 径向收縮,即当x∈D时令Px=x十r(x-x0)/|x-xo|, 面量PD=id.因对任给ACX有 PACco(AU{x}),故a(PA) ≤a(A),因此a(P)≤1.若X是 Hilbert空间而D闭凸,则5.11.2 将指明有收缩P:X→D满足IpP≤1 1,2,6最近定理设DCX有界,F:D→Y为紧映射.则e >0,3G∈C(D,Y): dispan(D)<∞且|F-G1≤e(约定|F sUp|Fx|,本书概如此). 证由FD相对紧有有限集{y}CY,使 FDCUB2(y;).令 9(x)=d(Fx,Y\B2(y)),定义 x=29(x)y/∑9(x),x∈D (可与(3)对照)显然G∈C(D,Y),ω DCspan{y}令A= 9/∑9则∑入=1;对任给x∈D有 Fx-Gx|≤∑入(x)|Fx 约定J=[0,1].称任何H∈C(×D,Y)为同伦;若H是紧映 射则称H为紧同伦;若有k<1,使对任给ACD有a(H(J×A) ≤a(A),则称H为SC-同伦对于一个同伦H(,x),通常以H2 记H(t,·),并说H是从H到H1的同伦.同伦的意义在于,若 某个与映射有关的量q“同伦不变”,则可利用等式q(H)=q(H1)
来简化q(H或q(H)的计算.这一思想在本章有本质意义 1、27命题设DCX,H:J×D→Y.(i)若H(,·)连续, H(·,x)关于x∈D一致地连续,a(H≤k<1,则H是SC-同 伦.(i)若H是SC-同伦,h(t,x)=x-H(t,x),SCD是有界闭 集则(×S)闭 证(i)显然H连续,而由1.1.5有a(H(J×A))≤ supa(H:(A)≤ka(A)(ACD),因此H是SC-同伦 (i)设y△h(tnx)→y,(tn,x)∈J×S,可设Ln→t∈J令A {xm},B={y},则ACB+H(×A),a(B)=0.若a(A)>0,则 a(A)≤a(H(×A))<a(A),得出矛盾.因此a(A)=0,故不妨设 x,x∈S,于是y=h(t,x)∈h(×S),h(×S)是闭的 1.28推论设DCX有界,F,G:D→Y是集压缩驶射,则 H,AtF+tG(∈刀是从F到G的SC-同伦 注对于同伦限定参数t∈J并无本质意义,今后将依需要自 由地以其它紧区间取代J §3拓扑度 现在进入本章主要课题—一度理论的讨论简要说来,度理论 的目标是,构成一个称为度的整值函数d(·,·,·),使对任给有 界开集ΩCX,F=Ⅰ一f∈SC()y∈Xf(a),d(f,,y)有定义 且表出方程∫(x)=y在D内的解的某种“代数个数”.这一问题经 历了长久的探索之后终获解决,其详细解答颇不简单,但其最终结 论倒极明了且令人深患满意,鉴于对度的构成已有极完善的表述 (参看[34,43,55,202]),本书避繁就简,以直接陈述度的基本性质 作为出发点,演华地展开度的基本理论,以期尽快达到较深入的可 用结论,这一选择不免留下一些缺憾,但似乎足以使主要关心度的 应用的读者满足因此,让我们直接面对不加证明地使用的以下结 论 9
1.3.1定理存在唯一整值函数d(·,·,·),使对任给有 界开集ΩCX,F=I-∫∈SC(),y∈X\f(a0),d(f,n,y)有定 义,且有性质:(D1)单位性:d(I,a,y)=1(yy∈9);(D2)可加性 若(1≤i≤n)是的互不相交开子集,y∈XVf(U)则 d(f,,y)=>d(f,,y);(D3)同伦不变性:若H:J×n→x 是SC同伦,y∈C(J,X),y(t)E(I-H1)(a2)(t∈J),则d(I一 H4,,y(t))与t无关 称1.31中的函数d(亦写作deg)为度或拓扑度.若限定F∈ 或Ⅹ=R",则相应的度分别称为 Leray- Schauder度(简称LS 度)与 Brouwer度 (D3)是最重要的度性质,它表明d(f,B,y)不因f,y的“连续 变形”而改变.(D2)则表明可通过适当“分割”口来计算d(f,, y).利用D1)~(D3)适当地改变∫,,y,有可能简化度的计算 由(D1)~(D2)可推得度的一些更进一步的性质 1.3.2推论度d(·,·,·)有以下性质:(D4)切除性:若 Ca闭,y∈XV(AUa),则d(f,D,y)=d(f,2\A,y);d(f,, y)≠0→f1(y)≠.(D)若y∈X[f(x,),g(x)](x∈a2)(特 别,若」Fx-Gx<|y-f(x)(vx∈a2)或F|a=Gla,y∈X f(a2)),则d(f,Q,y)=d(g,,y).(D6)归约性质:若FcYc X,Y是闭子空间,y∈Y(a2),则d(,,y)=d(f,Y∩,y)(右 端的∫理解为∫Y∩2).(D2)d(f,Ω,·)在X√f(a)的各分支内 取常值在无界分支内为零.以上F=l—∫∈SC(),G=1-g∈ SC(2). 证直接用(D2)推出(D4)取H4=tF+tG(参考1.2.8)从 (D3)推出(D3)因fa2)闭(1.2.4),故V仝X√f(a)开,从而v的 任一分支P为路连通开集[75;1.4.3],据此易从(D3)推出d(f, ,·)在P内为常数若P无界,则必y∈P\(注意f2有 界!),于是由①D4)有d(f,2,y)=0.这证得(Dn).至于(D),尽管 10