设定,无法在此深入讨论.下面的结果有点一般化,但可初步阐释 不动点方法的用法 令Y=C(T,X),则求方程(1)的连续解相当于求F在Y中的 不动点,F由(1)界定.自然试图求助于上节的不动点定理.对f设 定以下条件: H1) Caratheodory条件;(t,x)∈TxX,f(t,·,x)为r可 测;t∈T,对p几乎所有s∈T,f(t,5,·)连续 (H2)积分连续性:Yt∈T,有界集ACY,关于x∈A一致地 有 lim f(r, s, r(s).ds f(t, s, r(s))ds rJT (H3)增长性条件:a,b∈L(T,R+),使|∫(,,x)≤a(s) x|+6(s)(t,s∈T,x∈X),|al1<1. (H4)集压缩性条件:彐k∈[0,(2pT)1),对任给有界集vc X与tT有a(f(,T,V)≤ka(V) 今从条件(H1)~(H4)推出以下结论 1°￥x∈y,r∈T,条件(H1)保证∫(t,·,x(·)P可测.由条 件(H3)有 f(t,s,x(s))≤a(s)xl+b()∈L(T), (2) 这推出Fx()有定义,条件(H2)表明t+Fx()连续,即Fx∈Y,这 就得到算子F;Y→Y.实际上,(H2)表明当ACY有界时FA等度 连续 2设在Y中x→x,则必在Y中Fxn→Fx.否则有e>0,t2∈ T:|Fxn(tn)一Fx(tn)|≥E(n≥1)不妨设→t∈T由{Fx}等度 连续有Fxn(tn)-Fxn(t)→0.由(H1)有∫(t,,xn(s)→f(ts, x(s),pa,e,于是用控制收敛定理(注意到(2)得出Fxn()→ Fx(t)这就有 <IFr, (t-Fx (t)l+IFx.(r)-Fre)I +|Fx(t)一Fx(xn)|→0(
得出矛盾.因此F∈C(Y,Y). 3°由(2推出|Fx|。≤|allx+|bl:(x∈Y).取p>0充分 大,令D={x∈Y:|x|≤p}.Vx∈D,由|al1<1有|Fx|≤al1 +|b≤p,因此FDCD. 4°任给A∈D令V=A(T),显然V∈X有界.因FA等度连 续,故可用1.1.4,结合1.1.6与(H4)有 a(FA)=supa(FA)(t)) f(t,s,x(5))ds:x∈A pr…a(f(,s,x();s∈T,x∈A) suppl·a(f(t,T,V)) ≤rT·k(V)≤2k1Ta(A), 由此得a(F)≤2kpT<1 综上所述,应用 Darbo定理得到 1.5.1定理若条件(H1)~(H4)满足,则方程(1)至少有一连 续解 如果以1、4.6取代 Darbo定理,则条件(H4)可减弱为如下的 (H4)彐k∈[0,(2T)-1),t∈T及μ-几乎所有s∈T a(f(t,s,·))≤k 事实上,若可数集CCD(依前面的记号)满足 C=co(103U FC) (3) 赠如下面所证的有a(C)=0.令Q=FC,A1={f(t,·,x(·)) x∈C}对任给t∈T,由(H4)有 a(A(s))≤a(f(r,5,C(s))≤ka(C(s),Ha.e. (4) 由(3)易推出C()Cco({0}UQ()),因此a<C())≤a(Q(s),以 此代入(4)得 a(A, (s))<ka(@(s)),Re-ae (5) 由Q等度连续推出t+a(Q(t))连续(1.14);由(2)看出A一致 可积,于是用1.1.8及(5)有
a(Q())=ali f(e, s, I(s)ds: TEC y(s)ds;y∈A ≤2R(A()d≤ka(Q()ds. 上式两端对t积分得出 a(Q(t))dt s kfR a(Q(s))ds. 因2k<1,故必a(Q()d=0.若对p附加条件:任给非空开 集WCT有pW>0(在具体问题中此要求不难满足),则a(Q(t)) ≡0,于是由114有a(Q)=0进面由(3)得a()=0. 表面上看,条件(H4)与(H)似乎差别甚小.其实不然.例如, 若dimx<∞,则条件(H)推出Ⅴt∈T对H几乎所有s∈T,f(t, s·)全连续,因而条件(H)自动瀵足;但即使VCX有界,f(, T,V)未必有界,更不必说(H)满足.因此,应用1.46常能带来本 质的改进 类似的方法可用到 Volterra型积分方程 x(r)=w(r)+f(e, s, t(s))ds, (6) 其中∫:R+XR+×XK,四w∈C(R+,X)是给定的.约定J=[0, r](r≥0).如同证1.5,1一样可得出 1.5.2定理设∫满足条件: (C1)↓t∈R+:f(t,·,·)H×X满足 Caratheodory条件; C2)t∈R+,有界集VCX,关于(,x)∈J×V一致地有 fimf(r, s, x)=f(, s, r)+ (C3)r>0,3a,b∈(,R+),y(t,s,x)∈ JXJ,xX: lf(t,s,x)≤a(s)x{十b(s); (C4)Vr>0,3k≥0,yt∈J:a(f(t,s,·))≤k,a.e,(∈ J),则彐r>0,方程(6)在J,上有连续解, 18
15.3推论设∫:R+×X→X满足 Caratheodory条件;Vr >0,a,b∈(,R+),v(t,x)∈JX:|f(t,x)≤a(t)1x b(t);对t∈J有a(f(t,·))≤k<∞,a.e.,则IVP =f(t,x),x(0)=:∈x 在某个J(r>0)上有解 1.5.3由应用1.5.2于积分方程 x()=6+f(s,x(5)d 得出.类似于1.5.3的结暴可在[42]中找到 §6ODE的边值问题 ODE的边值问题(BvP)无疑是一个有点“古老”的问题,然而 它仍然占有数量可观的近代文献问题在于,迄今并未形成一套系 统的方法,足以对付出现于BVP中的各种情况.在这种情况下求 助于度方法是很自然的.近年来,应用度理论研究ODE的BVP的 工作是如此之多(如看[41,113,115,123,130,159,177,188, 189]),以至形成了某种势头,ODE的BVP的提法与形式都较筒 单,确实便于用来检验多种分析工具的效力,尽管这种检验可能仅 是初步的.这多少解释了人们何以乐于对BVP使用度方法.应当 说,度方法的使用毕竟带来了一批新结果.对这方面的大量工作做 任何形式的概括都是困难的,本节仅能提供一个一般性的导引 考虑n阶BVP: x)-∑A(t)x-1=f(t,x)(t∈J; (1) B=0 (2) 其中A:∈D1(J,L(R)),f:XRM→R",x=(x,x,…,x-1),B: XAC1(,R")→Rm.约定X中采用范数|x|x=max|x“-), 且设B∈L(X,R")(这一要求通常能被满足),于是Ⅹ6AN(B)是 ·19
X的闭子空间.令Y=D(J,R),Z={x∈K0:x1∈AC},AC记 绝对连续函数类.分别以Lx与Fx记方程(1)的两端,则L:z→Y 是一线性算子;对满足一定条件的∫有F:X→Y.若x∈Z满足 半线性”算子方程 Lx s Fx 则称x为BVP(1)(2)的(广义)解.形式上可将(3)转化为“不动点 方程”x=Tx,T=L1F,然后应用适当的不动点定理.下面指明 在适当条件下上述思路是可行的.设定条件: (H1)BVP“Lx=0,Bx=0”仅有零解; (H2)f:J×Rm→R~满足 Caratheodory条件; (H3)Ⅴr>0,彐g,∈L(J):f(t,z)|≤g(t)(t∈J,x∈R z|≤r) 1.61引(H1)→KA(LZ)-1∈L(Y,X) 证显然(H1)→L:z→Y为单射.令 oI 0 A1 A A 则M∈L(J,L(Rm),由标准的线性微分方程结论,VP“w M()W,W(0)=id”有绝对连续的唯一解W:J→GL(R).令W =(W)xn,则必W1∈C2(/,L(R),W1=W,LW=0(1 ≤k,≤n).用常数变异法求得TVP“x=y∈Y,x(0)=0”的唯 解 (t)=W(t-s)y(s)ds 4u(t;y). 任给z=(z1,22,…,zn)∈Rm,y∈Y,定义 A=∑B(W1z); (5) (E, 2,y) W1:(t)2+a(,y) (6) 则A∈L(Rm),Lx=yBx=Az+Bn(·,y),其中x=x(·;z