2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x->a x→b 在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0. f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a<x<b 、f(b), x=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 OO▣⊙⊙8
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 = → + lim f (x) x a lim f (x) x b → − 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0,1]连续，且 f(0)=1,f(①)=-3.由介值定理知存在x,∈(0,1)，使 f(x)=0,即方程有小于1的正根x. 2)唯一性. 假设另有：∈(0,1)，≠x,使f()=0,f(x)在以 x,为为端点的区间满足罗尔定理条件，在xo,x,之间 至少存在一点5，使∫'(5)=0. 但'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真 Oao⊙o8
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 b x (2)在区间(a,b)内可导 少存在-点5c(a,b),使f5)=b)-f四 证：问题转化为证f(⑤)-f)-f四=0 b-a b-a 作辅助函数 D(x)=f(x)-I(b)-f(@) b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a-bf(a)-a/b=pb),由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(@，b),使p'(5)=0,即定理结论成立.证毕 Ooo⊙o8
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . =(b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x,b=x0+△x,则 △y=f'(x+0△x)△x(0<0<1) 5 推论：若函数f(x)在区间I上满足f'(x)=0,则f(x) 在I上必为常数， 证：在1上任取两点：，x2(:1<x2),在[x1,x2]上用拉 日中值公式，得 f(x2)-f(6)=f'(5)(x2-)=0(<5<x2) .f(x2)=f(1) 由1，x2的任意性知，f(x)在I上为常数
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 = 0 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y = f x0 + x x 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束