第三章一元數积分学 上一章我们讨论了一元函数的微分运算, 这一章将讨论微分的逆运算一积分学。 因为我们不仅需要解决已知函数导数(或微 分)的问题,而且往往需要解决与导数(或微分) 运算正好相反的问题 已知物体运动速度v(),如何求物体运动 的路程s();已知曲线上各点的切线斜率kx) 时,又如何求出曲线方程;在经济管理中,类三 似的问题还可提出很多
1 第三章 一元函数积分学 上一章我们讨论了一元函数的微分运算， 这一章将讨论微分的逆运算—积分学。 因为我们不仅需要解决已知函数导数(或微 分)的问题, 而且往往需要解决与导数(或微分) 运算正好相反的问题: 已知物体运动速度 v(t) ，如何求物体运动 的路程 s(t) ；已知曲线上各点的切线斜率 k(x) 时，又如何求出曲线方程；在经济管理中，类 似的问题还可提出很多
§1定积分的概念性质基本定理 、实际问题 1、 Kepler第二定律(定积分思想的雏形) 联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间 内扫过相等的面积。 关键:计算椭圆扇形的面积
2 一、实际问题 A B C D S E F t t t 联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间 内扫过相等的面积。 关键：计算椭圆扇形的面积 §1 定积分的概念性质基本定理 1、Kepler 第二定律 （定积分思想的雏形）
2、面积问题 y Cx 设∫是定义在[,b上的非负函数, 由y=f(x),x=a,x=b,y=0 A=? 围成的图形为曲边梯形。 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 J (九个小矩形) b 小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积
3 a b x y o A ? y f (x) x a x b y , , 0 2、面积问题 设 f 是定义在 [a, b] 上的非负函数， 围成的图形为曲边梯形。 用矩形面积近似取代曲边梯形面积。 a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 由 y f x ( ), 小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积
作区间[a,b的一个分割: D a=x<x<x<<x <x=b n 把[a,b分成n个小区间Ix;1,x;, 长度为Ax=x-x1,在x1,x上任取一点; 以△为底,∫(5;)为高的 小矩形面积:A=f(;)△x n个小矩形面积相加得 ∑f(5)△ x i-1 b i=1 记元=maxΔx,如果分割越细,即九→>0时, 上述和式的极限存在,则曲边梯形的面积 A=lim>f(S:)Ar ->0
4 D: a x0 x1 x2 xn1 xn b i x y o a x1 xi1 xi xn1b i i xi A f ( ) 作区间 [a, b] 的一个分割： 把 [a, b] 分成 n 个小区间 [ xi-1 , xi ] ， 1 , i i i x x x 长度为 i 在 [ xi-1 , xi ] 上任取一点 ， i 以 x 为底， 小矩形面积： i n i f i x ( ) 1 n 个小矩形面积相加得 max i i 记 x ( )i f 为高的 如果分割越细，即 0 时， 上述和式的极限存在，则曲边梯形的面积 i n i A f i x lim ( ) 1 0
、定积分的定义 定义设∫是,b上的有界函数,对[a,b的 任意分割D:a=xn<x,<x,<…<x.,<x.=b n-1 任取5∈[x;1,X,(=1,…,n) 并记△x;=x1-x1=1 作和式a=∑f(4)x称为 Riemann和 i=1 记九=maAx; 如果元→0时, Rieman和的极限存在, 称∫是{a,b上的可积函数, 称此极限为f在{a,b上的 Riemann积分
5 二、定积分的定义 D a x x x x x b : 0 1 2 n1 n 定义 (i 1, ,n) 设 f 是 [a, b] 上的有界函数，对 [a, b] 的 任意分割 1 [ , ] , i i i x x 任取 i i i 1 x x x 并记 称为 Riemann 和， 1 ( ) n i i i f x 作和式 max , i i 记 x 如果 0 时， Riemann 和的极限存在， 称 f 是 [a, b] 上的可积函数， 称此极限为 f 在 [a, b] 上的Riemann 积分