§3定积分的计算 微积分基本定理( Newton- Leibniz公式) 揭示了定积分与不定积分之间的关系: ∫(x)dx=F(b)-F(a) 不定积分的常用方法(如:换元法、分部积分法、 有理函数等)可直接适用于定积分的相应运算中。 换元积分法 定理设∫是[a,b上的连续函数,是定义在a 和β间的连续可微函数,其值域包含于 a,b且a=q(a),b=q(6) 则∫f(x)dx=」Jo)p(O)=(O)|
1 §3 定积分的计算 微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式） 揭示了定积分与不定积分之间的关系： f (x)dx F(b) F(a) b a 不定积分的常用方法（如：换元法、分部积分法、 有理函数等）可直接适用于定积分的相应运算中。 一、换元积分法 定理 a b ( ) ( ). ， F t [ ( )] 设 f 是 [a, b] 上的连续函数， 是定义在 和 间的连续可微函数，其值域包含于 [a, b] . 且 ( ) [ ( )] ( ) b a f x dx f t t dt 则
例1、求」√sin3x-sin3xat 例2、求 -2 Cvx In 3 d x 例3、求 JIn2 e -e 例4、求 dx a>o xta=x
2 例 1、求 3 5 0 sin sin x xdx 例 2、求 2 2 21 1 dx x x 例 3、求 ln3 ln2 x x dx e e 例 4、求 0 2 2 1 0 a dx a x a x
例5、设函数f(x)∈CoN、,)dr 1)证明:∫f(mx)dk=「f 2)证明:∫m/(mx)k=2J2 f(sinx)d 3)计算:
3 例 5、设函数 [0,1] f x C ( ) 1）证明： 2 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) (cos ) 2）证明： 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) 2 (sin ) 3）计算： 3 2 3 3 0 cos sin cos x dx x x
二、分部积分法 Newton- Leibniz公式和不定积分的分部积分法 相结合,即可得定积分的分部积分法。 u(x)dv(x)=u(x)v(x)a- v(x)du(x) 例6、求∫x 例,设f(x)=t,求∫,9()k
4 二、分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a u x dv x u x v x v x du x 例6、求 1 ln e e x dx Newton-Leibniz 公式和不定积分的分部积分法 相结合，即可得定积分的分部积分法。 例7、设 , 求 2 1 sin ( ) x t f x dt t 1 0 xf x dx ( ) .
例8、求1=1smm为非负整数 解:/1=∫ 0 sin xar= x2 : sina cosx 0—2m20 当n≥2时,则有 sIn xo= sinxsinxa 0 sin"(cosx -sin"-Ixcos x2+(n-12 sin -2x cos xdx (n-1l sin"-x(1-sin x)dx (n-1)(n
5 例8、求 2 0 sinn n I xdx n 为非负整数 解： 2 0 0 0 I xdx sin 2 0 x 2 2 1 0 I xdx sin 2 0 cos x 1 当 n 2 时，则有 2 0 sinn n I xdx 2 1 0 sin sin n x xdx 2 1 0 sin (cos ) n xd x 1 2 0 sin cos n x x 2 2 2 0 ( 1) sin cos n n x xdx 2 2 2 0 ( 1) sin (1 sin ) n n x x dx 2 ( 1)( ) n I I n n