观察雪花分形过程 第5次分叉周长为12.6面积为0.688 设三角形 周长为P=3, 久5~产 面积为A4 第一次分叉: 周长为乃2=32" 面积为A2=A1+3··A1;依次类推
观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 A P 面积为 周长为 设三角形
第n次分叉 周长为P=()Pn=1,2, 面积为 An=An-1+34-I(”A1 A1+3·A1+34·(a)2A41 +…+3·4-2./ A1{1+ 十 "2} 33939 n=2,3,…
) 1,2, 3 4 ( 1 1 P P n n n ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n n n 2,3, 周长为 面积为 ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 n A 第 n 次分叉：
于是有 limp=oo n→0 1 3、2√3 im4=A4(1+,4)=A(1+s)=5 9 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
于是有 n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim (1 1 An A n . 5 2 3 ) 5 3 (1 A1 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．
例3.讨论等比级数∑mn的敛散性 n 解:等比级数的部分和为: ∑ a-ar C k=1 1-r 当公比|rk1时, lim s=lim a S
例3. 讨论等比级数 的敛散性. 1 1 n n ar 解：等比级数的部分和为： . 1 (1 ) 1 1 1 1 r a r r a ar r S ar n n n k k n 当公比 | r |<1时， , 1 1 (1 ) lim lim r a r a r S n n n n 即 . 1 r a S
当公比|r1时,limS=1im(1-rn n→)0 n→0 当公比r=1时, lim s= limna=0 n→0 n→)00 a,n为奇数 当公比r=-1时,Sn= 故 lim s不存在 n→ 为偶数 综上所述,当公比rk<1时,等比级数收敛; 当公比r1时,等比级数发散
当公比 | r |>1时， . 1 (1 ) lim lim r a r S n n n n 当公比 r =1时， S na n n n lim lim 当公比 r = 1时，Sn = a, n为奇数 0, n为偶数 , 故 不存在. n n S lim 综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散