压缩映射与不动点：压缩映射原理 (压缩峡射厚理) 假设 。X是完备的距离空间， 。T:X→X是压缩映射. 则存在唯一的z∈X使得Tz=乙，即T在X中有唯一的不动点. 讨论：一张含有你所在地的地图仍到地上，你会发现什么？ 口0·4之·4生+2刀a0 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
ÿ†NÜÿƒ:µÿ†Nn (ÿ†Nn) b X ¥Âlòm, T : X → X ¥ÿ†N. K3çò z ∈ X ¶ Tz = z, = T 3 X •kçòÿƒ:. ?ÿ: ò‹¹k\§3//„E/˛ß\¨uyüoº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²
证明思路分析： 。如何运用完备和压缩这两个条件 ●运用完备：如何构造合适的Cauchy点列 。运用压缩：证明点列的收敛 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上将交通大学数学系第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
y²g¥©¤ µ X¤$^⁄ÿ†˘¸á^á $^µX¤E‹·Cauchy: $^ÿ†µy²:¬Ò ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²
压缩映射原理的证明 1.证明不动点的存在性。构造Cauchy)序列。 设a是压缩映射T的压缩常数.对Hxo∈X,令 Xn=T"xo=T(Ta-1xo). 则{xn}cX是Cauchy列.事实上，对He>0,取N>0使得 aN 1-aP(X1,xo)<8. 对Vm∈N有 p(xm+1,xm）=p(Txm,Txm-1）≤ap(xm,m-1）=ap(Txm-l,Txm-2) ≤02p(xm-1,xm-2）≤.≤a"p(1,x0） 2 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
ÿ†Nny² 1. y²ÿƒ:35" ECauchyS" α ¥ÿ†N T ÿ†~Í. È ∀x0 ∈ X, - xn = T n x0 = T(T n−1 x0). K {xn} ⊂ X ¥ Cauchy . Ø¢˛, È ∀ε > 0, N > 0 ¶ α N 1−α ρ(x1, x0) < ε. È ∀m ∈ N k ρ(xm+1, xm) = ρ(Txm,Txm−1) ≤ αρ(xm, xm−1) = αρ(Txm−1,Txm−2) ≤ α 2 ρ(xm−1, xm−2) ≤ ... ≤ α m ρ(x1, x0). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²
故当n,m>N(不妨设n>m) P(xm,xn）≤P(xm,xm+1)+p(xm+1,xm+2）+..+P(xn-1,xn） ≤(am+am+1+.+a-1)p(1,x0) amIan-m p()) 这就证明了{xn}是X中的Cauchy列. 。因X完备→3z∈X使得xn→z ●由xn=Txn-1和T的连续性→Tz=z 所以，z是T的一个不动点 口4艺”4生42分只0 张样：上将交通大学数学系第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
n,m > N £ÿî n > m§ ρ(xm, xn) ≤ ρ(xm, xm+1) +ρ(xm+1, xm+2) +...+ρ(xn−1, xn) ≤ α m +α m+1 +...+α n−1 ρ(x1, x0) = α m 1−α n−m 1−α ρ(x1, x0) ≤ α m 1−α ρ(x1, x0) < ε. ˘“y² {xn} ¥ X • Cauchy . œ X =⇒ ∃z ∈ X ¶ xn → z. d xn = Txn−1 ⁄ T ÎY5 =⇒ Tz = z §±ßz ¥ T òáÿƒ:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²