4.2短阵的相似对角化151设P=（p1,Pa，pn),1,P2.…，n是P的列向量组，则P-1AP=A, AP=PA,即T)入2A(pi,p2,,pu)=(pi,p2,***,pn)(Ap1,Ap2,***,Apn)=(ip1,/2p2+*,Anpn)Api=入p(i=1,2,,n)因为P可，所以pi≠0(i=1,2，n)，于是，Pi,p2,，P是A的n.个线性无关的特征向量反之，若A有n个线性无关的特征向量p1,P2,，Pn，即Ap:=入ipi（i=1,2n)，设P=(p1,P2pn)则P可逆，且AP=(Ap1,Ap2,***,Apn)=(Aipi,A2p2,**+,Anpn)(入1入2=(P1,P2,**+Pn)= PA,入n所以P-1AP=A,即A与对角矩阵A相似由以上讨论可得定理3n阶矩阵A能与对角矩阵A相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，由此定理可知，若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量Api=api(i=1,2,..,n),令P=(plp2*p）,则12P-1APT0入1，入2，…，入是A的全部特征值.值得注意的是，P中列向量p1,P2，，Pn的排列顺序要与入1，入2，…，入n的排列顺序一致
152第四章特征值与特征向量由于p是（入,I-A)X=0的基础解系中的解向量，故p的取法不是催一的，因此P也不是惟一的.而fA())=det(ΛI-A)=0的根只有n个（重根按重数计算).所以若不计入的排列顺序，则A是惟一确定的。046,求A10.例2设A-503-613入-4-60= (A+ 2)(入-1)2,0det (I -A)3入+5解36>-1-2,2=1(2重)A的特征值为AI=对于入1=-2,（入iI-A)X=0的系数矩阵为0(1106-6300030006-3013113.其基础解系为α1=(-1,1,1)T对应的齐次线性方程组为22=a3,对于入2=1.（入2I-A)X=0的系数矩阵为20-60-33606005对应的齐次线性方程组为1=-2.r2+0r3，其基础解系为α2令2(P= (Q1,Q2,Q3)=1110易见，P是可逆矩阵，且.P-1AP1A=EP所以
4.2矩阵的相似对角化153(2)10Al0P1I210241101022-204601023204710232046A例3设A半O,A=O（为正整数）.证明A不能与对角矩阵相似证设A能与对角矩阵A=diag（入1，入2,入）相似，则存在可逆矩阵P，使A=PAP-1(4.8)入格A-PAP-I-PP-1=O,入于是可得diag（入，5，入）=O.从而，入=入2=..==0,即有4=0.由式（4.8）可得A=O.与题设A≠O矛盾，故A不能与对角矩阵相似定理3给出了n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件，但是对于一个具体的n阶矩阵，要直接判断它是否有n个线性无关的特征向量一般是很困难的，下面我们进一步讨论什么样的n阶矩阵能与对角矩阵相似定理4设入1，入2，入m是矩阵A的互异特征值，α1,α2，"，Qm是A分别对应于这些特征值的特征向量，则α1，Q2，*，αm线性无关证用数学归纳法证明当m=1时，结论显然成立.因为特征向量α半0，所以一个非零向量是线性无关的，假设对m-1个互异特征值结论成立对m个互异特征值入1，入2，***，入m以及它们所对应的特征向量Q1Q2，***，Qm，设hai+k2Q2+."+hmQm=0,(4.9)用A左乘式（4.9）两端得ki(Aa1)+k2(Aa2)+...+km(Aam)=0
154第四章特征值与特征向量(4.10)ki(A1Q1)+k2(入2a2)+**+km(入mQm)=0用入乘式（4.9）两端得(4.11)h(Ama)+k2(>ma2)++km(AmQm)=0式（4.10）与式（4.11）两端相减可得ki(>1->m)α1+k2(2-入m)a2++km-1(Am-1-)m)am-1=0由归纳假设Q1，Q2，，αm-1线性无关，故ki(1-入m)= k2(>a-入m)=.= km-1(入m-1-m)= 0.又因为入入m0（=1,2,.，m-1)，所以只有l=kz==km-1=0.代入式（4.9）得kmQm=0，由Qm≠0可得km=0，于是α1，α2，..*，Qm线性无关推论1设n阶矩阵A的特征值都是单特征根，则A能与对角矩阵相似证因为A的特征值都是det（I-A）=0的单根，所以A有n个互异特征值互异特征值对应的特征向量是线性无关的，故A有n个线性无关的特征向量，因而A能与对角矩阵相似与定理4的证明类似，我们可以得到下面的推论：推论2设入1，>2,，入是矩阵A的互异特征值，αi1,Qi2Qir，是对应于特征值入，的线性无关的特征向量，则ai,，airαkt,，Qkr也线性无关.设入，入2..，入，是n阶矩阵A的全部互异特征值，入，是A的k重特征值（k≥1)，则ki+k+..+k=n.若对每一个特征值入i=1,2，r),（,I-A)X=0的基础解系由K，个解向量组成，即入，恰有k，个线性无关的特征向量，则由推论2可知A有n个线性无关的特征向量.而（入,I-A）X=0的基础解系所含解向量个数不大于h，故可得下面的定理：定理5n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于A的每一个k重特征根入，齐次线性方程组（,I-A)X=0的基础解系由k,个解向量组成。入,I-A是齐次线性方程组（A,I-A)X=0的系数矩阵，由系数矩阵的秩与基础解系所含解向量的个数的关系可以得到定理5的一个推论推论3n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个k；重特征根入i，R(>,I-A)=n-ki例4下列矩阵能否与对角矩阵相似？2123A=21B-20-2-2-81