第四章特征值与特征向量146-110的特征值与特征向量，0例5求方阵A-43102解0入+1-1= (入 - 2)(> - 1)2,4入-30det (I - A) =0>-2-1A的特征值为入1=2,入2=1(2重)对于入1=2,对应的齐次线性方程组（>1I-A)X=0为3r132= 0,(4.2)4r172= 0,=0,41其基础解系为α1=(0,0,1)T.A对应于入1=2的全部特征向量为ki1(h≠0)：注意，方程组（4.2）实质上是一个三元线性方程组，其中3的系数全部为零，取3为自由未知量，则当#3=1时，21=2=0.对于入2=1,相应的齐次线性方程组（入2I-A)X=0为=0.211-12=0,4r1-22-13=0,-31其基础解系为α2=（1.2,-1)T，A对应于>2=1的全部特征向量为k2Q2（h2≠0)在例4中，入1=2是A的2重特征根，A对应于入1的线性无关的特征向量有两个即（iI-A)X=0的基础解系由两个解向量组成.在例5中，入2=1也是A的2重特征根，但A对应于入2=1的线性无关的特征向量却只有一个，即（>2I-A)X=0的基础解系只由一个解向量组成设n阶矩阵A的特征多项式为f()= -A|= (-) (-2).. (-X)其中入（)ki=n，则称为特征值入，的代数重数，而入的特征子空间V的维数称为入，的几何重数.可以证明：特征值的几何重数不大于它的代数重数，即如果入，是A的K重特征值则A对应于入的线性无关的特征向量的个数不大于k，也就是（入,I-A)X=0的基础解系所含解向量个数不大于kt.7-1，求A的特征值与特征向量例6设A11
4.1特征值与特征向量的概念与计算147解det(入I-A)入2-2入+2,A的特征值为入1=1+i,12 = 1 - i.对于=1+i（入iI-A)X=0的系数矩阵为=ic2其基础解系为 α1A对应于入1=1+i的全部特征向量为kiα1（ki≠0)对于入2=1-,(入2I-A)X=0的基础解系为α2A对应于入2=1-i的全部特征向量为k2α2（k2≠0).我们将行列式det(ΛI-A）称为矩阵A的特征多项式，记为fA()，即fA() = det (AI - A).下面进一步讨论特征多项式fA(A)的性质：入A-an-a12...Q1n入0.22Q21-a2nfA()= det (I - A) =...:anl-an2入-ann故fA(J)是入的n次多项式fA()="+an-1n-1+.++0(4.3)利用行列式性质将det（I-A）展开可得fA() = det (I-A)="-(ai1+a22+..+ann)^"-1+...+(1)"detA(4.4)又设fA(>)的全部根（即A的全部特征值)为入1入2,，入，则fA() = (-1)(-X2).- (-n)="(+2 ++n)n-1 ++(-1)".n(4.5)比较式（4.3)，（4.4)，（4.5）可得，an-1=-(a11+a22+...+ann)=-(1+>2+...+入n)Qo =(-1)" det A= (-1)")1>2--.入n于是，矩阵A的特征值与A的主对角元及detA之间有以下关系：+)2+...+n=a11+a22+..+an=tr(A),Aid...An=detA
148第四章特征值与特征向量因此，方阵的n个特征值之和等于方阵的主对角元之和；n个特征值之积等于方阵的行列式；n阶方阵A可逆的充要条件是A的所有特征值全不为零。在多项式理论中可以证明：整系数多项式的整数根一定是常数项的整数因子。利用这个结论，可以确定某些矩阵是否有整数特征值741的一个特征值，求常数α及矩阵A例7设入=12是矩阵A：47-144a的其余特征值解因为入=12是矩阵A的一个特征值，所以，5-4-45=9a+36=0.det(I-A)=14-a故a=-4.设矩阵A的其余特征值是入2.入3，则(4.6)入+入2+13=7+7+4=18(4.7)142=detA=108将入=12代入式（4.6).（4.7)，可得入2=入3=3习题4.11.求下列矩阵的特征值与特征向量：3(2)(3)(1)1331111(4) (6)(5)-1110011-12.设入是方阵A的特征值，证明入是A的特征值，3.设向量α是方阵A对于入的特征向量，试求Am对于Am的特征向量4.设是方阵A的特征值，f(）是的多项式，证明f()是f(A）的特征值5.试讨论可逆矩阵A与A-1的特征值与特征向量的关系6.设A可逆，讨论A与A*的特征值（特征向量）之间的关系7.设n阶矩阵A的任何一行中n个元素的和都是a，证明入=a是A的特征值8.设A?=I.证明A的特征值只能是士1
-4.2超陈的相仪对角化1499.设n阶矩阵A满足ATA=I.detA=-1.证明-1是A的一个特征值10.设入1，入2,**，入n为A=（au）nxn的n个特征值，证明Z-gj-i=-1j=111.设3阶矩阵A的特征多项式为fA()=>3-3)2+5入-3,则A的整数特征值可能是哪些数？这些数中是否有A的特征值？4.2矩阵的相似对角化相似矩阵的基本概念在习题1.3的第13题中，我们已经知道，如果已知可逆矩阵P，且P-1AP=A（对入1角矩阵）：则A=PAP-,且入2A=PAPA对于同阶方阵AB,如果存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,那么对于A与B之间的这种关系，我们给出如下定义：定义对于n阶矩阵A,B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP=B,则称A与B相似，记为A~B矩阵之间的相似关系具有以下性质：1°反身性A~A;2°对称性若A~B,则B~A;3°传递性若A~B且B~C.则A~C1°和2°的证明是很显然的，3°的证明如下：设A～B,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,又B~C,则存在可逆矩阵Q,使Q-BQ=C.所以Q-1P-1APQ=(PQ)-1A(PQ)=C,记R=PQ.则R可逆，且R-AR=C.故A~C定理1相似矩阵的特征值相同。证设A～B,则存在可逆矩阵P使B= P-IAP,det (I - B) = det (I - P-IAP) = det [P-(ΛI - A)P]
150第四章特征值与特征向量= det P-1 det(I - A)det P = det(ΛI -A),A与B的特征多项式相同，因此A与B的特征值相同(入ie典型例随精讲入2.求例1设n阶方阵A~A=相似矩阵的性质入A（h为正整数）解因为A~A,所以存在可逆方阵P.使P-1AP=AA=PAP-1,故A*=(PAP-1)(PAP-1)...(PAP-1)=PA"P-1(X格=Pb入只需求出P-1,再计算出PA*P-1就行了，当比较大时，这比直接计算A*要方便得多，我们自然要提出的问题是，什么样的矩阵A可以与对角矩阵相似？或者说，对于给定的矩阵A在什么条件下存在对角矩阵A与可逆矩阵P,使P-1AP=A？如果这样的矩阵A与P存在，那么又应该怎样求出？下面就讨论这些问题矩阵的相似对角化二、1入2相似，则入1，入2，定理2.若n阶矩阵A与对角矩阵A：An入，是A的全部特征值，1入2证因为A～=所以A与A的特征值相同.又入ndet(I -) = (-)(-2)---(-n),所以入1，入2，.，入，是4的全部特征值，也就是A的全部特征值定理2指出，若A与对角矩阵A相似，则A的主对角线上的元就是A的全部特征值，那么.使P-1AP=A的矩阵P又是怎样构成的呢？