第三节定积分的换元法和分部积分法、定积分的换元法二、分部积分法三、小结
第三节 定积分的换元法 和分部积分法 • 一、定积分的换元法 • 二、分部积分法 • 三、小结
上一节的牛一莱公式将定积分的计算归结为求不定积分，而不定积分可用换元法和分部积分法求积，这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了如果将换元法和分部积分法写成定积分的形式常可使得计算更简单
上一节的牛—莱公式将定积分的计算 的形式, 而不定积分可用换元法 和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了. 归结为求不定积分, 如果将换元法和分部积分法写成定积分 常可使得计算更简单
一、定积分的换元法定理假设函数f(x)在[a,b]上连续；函数x=β(t)满足条件：(1) p(α) =a, β(β) =b,(2) β(t)在[α,β](或[β,α)上具有连续导数且其值域R。=[a,b],B则有[ f(x)dx =flp(t)lp'(t)dt
定理 一、定积分的换元法 ( ) [ , ] ( ) (1) ( ) ( ) (2) ( ) [ , ]( [ , ]) [ , ], ( ) [ ( )] ( ) b a f x a b x t a b t R a b f x dx f t t dt = = = = = 假设函数 在 上连续；函数 满足条件： ， ， 在 或 上具有连续导数， 且其值域 则有
证：设F(x)是f(x)的一个原函数" f(x)dx = F(b) - F(a),: Φ(t) = F[p(t)ldFdx@'(t) =x = f(x)p(t) = f[(t)lg'(t),: d(t)是f[p(t)]p'(t)的一个原函数6f[p(t)lp'(t)dt = Φ(β)-@(α)
证： f (x)dx F(b) F(a), b a = − ( ) [ ( )], t F t = ( ) dF dx t dx dt = = f (x)(t) = f t t [ ( )] ( ), f t t dt [ ( )] ( ) ( ) ( ), = − 设F x f x ( ) ( ) 是 的一个原函数， ( ) [ ( )] ( ) t f t t 是 的一个原函数
p(α)=a、(β)=bΦ(β)-@(α) = F[β(β)]-F[β(α))= F(b)- F(a),[~f(x)dx = F(b)- F(a) = @(β)-Φ(α)J' flp(t)lo'(t)dt.注意：当α>β时，公式仍然成立
( ) ( ) − = − F F [ ( )] [ ( )] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = − ( ) ( ) f [ (t)] (t)dt. = 注意：当 时，公式仍然成立. ( ) ( ) = = a b