第二节换元积分法第一类换元法二、 第二类换元法三、 小结 思考题
第二节 换元积分法 • 一、第一类换元法 • 二、第二类换元法 • 三、小结 思考题
一、第一类换元法问题sin 2xdx ? -cos2x+C,利用复合函数，设置中间变量解决方法过程令t=2x=dx=dt.一21sin 2xdx=cos2x+Ccost+C二sin tdt =222
问题 sin 2xdx = − + cos 2 , x C 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt sin 2xdx 1 sin 2 = tdt 1 cos 2 = − +t C 1 cos 2 . 2 = − + x C 一、第一类换元法
在一般情况下：设 F'(u) = f(u), 则 [ f(u)du= F(u)+C.如果u=β(x）（可微）dF[p(x)] = f[p(x)lp'(x)dx[ f[0(x)]g'(x)dx = F[0(x)]+ C=If f(u)dul=8(x)由此可得换元法定理
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f [ (x)](x)dx = + f x x dx F x C [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u x = f u du = 由此可得换元法定理
定理1设f(u)具有原函数,u=(x)可导则有换元公式[ f[o(x)]p'(x)dx =J f(u)dulu=(x)第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的关键在于将[ g(x)dx化为[ f[o(x)lp(x)dx.观察重点不同，所得结论不同
( ) ( ) , ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u x f u u x f x x dx f u du = = = 设 具有原函数 可导， 则有换元公式 第一类换元公式（凑微分法） 说明:使用此公式的关键在于将 g x dx f x x dx ( ) [ ( )] ( ) . 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理1
一般地变形找f[p(x)lp'(x)dxg(x)dx凑微分式换元凑微分f[p(x)]dp(x)0(x)=u J f(u)du积分还原变量F[g(x)I+C.F(u)+C
一般地 g x( )dx ====== [ ( )] ( )d f x x x ==== [ ( f x )]d( ) x ====== ( )d f u u === ( ) + F u C ====== [ ( )]+ . F x C 变形找 凑微分式 凑微分 换元 ( ) = x u 积分 还原变量