第五章二次型二次型的理论与方法在数学、物理学和工程中都有广泛的应用。本章着重讨论实二次型的标准形与正定性5.1实二次型及其标准形二次型及其矩阵表示在平面解析几何中，二次方程az2+2bary+cy?=d表示一条二次曲线.为了便于研究该曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度e，作坐标变换=a.coso-ysingy=r'sing+ycoso,将二次方程化为只含平方项的标准方程a2+by=d.由α和b的符号很快能判断出此二次曲线表示的是椭圆或者双曲线上述二次方程的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点来看，就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式化为只含平方项的多项式。这样的问题，在许多理论问题或实际应用问题中常会遇到.现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的问题，定义1n元二次齐次多项式f(r1,t2,.,an)=az+2a1221a2+...+2a1niam+a22r2+...+2a2n2m+.+annc?称为n元二次型，简称为二次型若二次型中的系数auR(i≤j,,j=1,2,,n)，则称二次型于为实二次型；若ajEC，则称二次型为复二次型，本章只讨论实二次型
第五章二次型182若令a钙=a（元,5=1,2,.，n)，则二次型可记为f(122,an)=ai1a+a12t1r2+.*.+a1na1n+a217221+a2222+.+a2n2n++an1ani+an2anT2+.+anna?agtidj令Caira12a1l&2a2na21a22xA=目++*.4Cnani)an2ann则二次型可表示为f(X)=XTAX (AT=A).e这一形式称为二次型f(11，12，，an）的矩阵形式，实对称矩阵概念解析二次型与对称矩阵A称为二次型f(X）的矩阵显然，二次型与其矩阵是互相惟一确定的，以后在实二次型的矩阵表达式f(X）=XTAX中都假定A是实对称矩阵二次型f(X）=XTAX的矩阵A的秩称为二次型f(X）的秩，例如，二次型f(t1,2,t3)=2+421261+22322-3C1-2-12=(1,22,3)T10-3T322-32112这个二次型的矩阵是A=1210-32号故A的秋为3,所以于(21,2,3)的秩也是3.由于detA=对于元二次型(a1,2,，n）变换Ti=C113+C129/2+...+Cinyn,T2=C2191+C2292++C2nYn,An=Cniy1+Cn2y2++CnnYn
5.1实二次型及其标准形183称为从91,92，，9n到a1,a2,，n的线性变换.若线性变换的系数矩阵可逆，则称为可逆线性变换aiculC12Ciny122C21C2292C2n令X=Y则线性变换可记为国...anCn2CnlCanYnX=CY.将n元二次型f(X）=XTAX作可逆线性变换X=CY，则f(X) = (CY)"A(CY)=YT (CAC)Y令B=CTAC,则f(X)=YTBY=g(Y)二次型f(X）=XTAX通过线性变换X=CY后变成一个新二次型g(Y）=YTBY，这两个二次型的系数矩阵A与B的关系是B=CTAC.定义2设A.B为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得e概念解析B=CTAC,矩阵等价、矩阵相似、矩阵合同则称A与B合同.矩阵之间的合同关系具有以下性质：1°反身性任何n阶矩阵A都与自身合同；2°对称性若A与B合同，则B与A合同：3°传递性若A与B合同且B与C合同,则A与C合同这些性质的证明留给读者可逆线性变换X=CY把二次型f（X）=XTAX变为二次型g(Y）=YTBY这两个二次型的矩阵A与B合同，即B=CTAC,故 A与B的秩相同.因此f(X)与g(Y）的秩相同。所以可逆线性变换不改变二次型的秩.012例1设矩阵A求实可逆矩阵C.使CTAC=B00解矩阵A对应的二次型是f(i,2)=XTAX=-矩阵B对应的二次型是g(y1,y2)=YTBY=-2yr+y2作可逆线性变换1=0y1+92,22=V2y1+0y2
184第五章二次型即令矩阵且X=CY,则f(a1,r2)与g(J1,y2)的矩阵之间的关系为C"AC=B.二、用配方法化二次型为标准形在各种二次型中，平方和形式dyi+daye++dny.无疑是最简单的.下面我们将介绍，任何一个二次型f(X）=XTAX都可以通过可逆线性变换X=CY化为平方和形式，这种平方和形式的二次型称为标准形定理1任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形利用配方法和对变量个数n使用归纳法可证明这个定理（证明从略）下面通过具体例子说明怎样用配方法化二次型为标准形例2用配方法化二次型f（12,3）=2+2+5+22122+221+6223为标准形.解f(11213)=（++3+2112+2113+22213)++43+4243=(1+a2+3)2+(2+223)3,作线性变换=r+2+3U12+2x3,92=3313,则于（r122,3）的标准形为f=妮+若用9/1,9293表示T1,22,23，则上述线性变换又可表示为21=91-92+9/3,922y3:32=93C3记1A91LC019200A93则上式又可记为X=CY，即二次型f(t1,a2,r3）通过可逆线性变换X=CY变为标准形于=妮十妮例3用配方法化二次型f(1,±2,13)=21132+2113-6F23为标准形
5.1实二次型及其标准形185解作线性变换21=91+y22=91-92C3=93+则f=2(y1+y2)(y1-/2)+2(91+y2)93-6(31-92)y3=2y-2y2-4y193+8y293=2（斤+奶-21y3）-2y2-29#+8y2/3=2(g1-y3)2-2(g2+4y3-4y29/3)+6y3= 2(y1-y3)2-2(y2-2ys)2 + 6y3再作线性变换21=31-93,92-2y3,22=23-U3,则F=22-223+623(5.1)如果再令ti=V2z1ta=V6z3,tg=V222,则于=午+场-(5.2)式（5.1）与式（5.2)所表示的二次型都是f(21,22,t3）的标准形.由此可见，一个二次型的标准形不是惟一的.式（5.2）这样的标准形称为规范形n元二次型的规范形的一般形式为近++%-+1--(r≤n)定理2任何一个二次型的规范形是惟一的我们将这个定理的证明思路叙述如下：二次型f(X）=XTAX可以通过可逆线性变换化为标准形.经过适当的调整，将正项集中在前面，负项集中在后面，表示为如下形式：f(X)=dyi ++dpyp-dp+1yp+1-...-deyz其中rn,d,>0(i=1,2,*r)