《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_6.2定积分在几何上的应用

第二节定积分在几何上的应用平面图形的面积二、旋转体的体积三、平面曲线的孤长四、小结

第二节 定积分在几何上的应用 • 一、平面图形的面积 • 二、旋转体的体积 • 三、平面曲线的弧长 • 四、小结

一、平面图形的面积1.直角坐标系情形yty= f(x)yE f(x)y= fi(x)XoTaxx +AxbxArolba曲边梯形的面积曲边梯形的面积A= f'f(x)dxA = I'lf,(x)- f(x)]dx

曲边梯形的面积   b a A f (x)dx 曲边梯形的面积    b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 x y o y  f (x) a xx  xb 1.直角坐标系情形 ( ) y  f1 x ( ) y  f2 x a b xx x y o 一、平面图形的面积

例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积。X=y?解两曲线的交点(0,0) (1,1)y=x?.选x为积分变量xE[0,1]面积元素 dA=(Vx-x2)dx[-]--A=f'(Vx-x")dx=

解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2   选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0    1 0 3 3 3 2 2 3         x x . 3 1  2 y  x 2 x  y 2 2 1 . 例 计算由两条抛物线y x y x   和 所围成的 图形的面积

例2计算由曲线y=x3-6x和y=x所围成的图形的面积y=x3 -6x10解?两曲线的交点y=x2..y = x3 - 6xy=xX-2-13→(0,0), (-2,4),(3,9)2.5选x为积分变量xE[-2,3](1) xE[-2, 0], dA =(x3 -6x-x°)dx(2) x E[0,3], dA, =(x2 -x3 +6x)dx

解 两曲线的交点  (0,0), (2,4), (3,9).       2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[2, 3] (1) x[2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1    (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2    2 y  x y x 6x 3   3 2 2 6 . 例 计算由曲线y x x y x    和 所围成的 图形的面积

于是所求面积 A= A, + A,A= J,(x3 -6x - x")dx+ f'(x2 - x +6x)dx25312说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：积分变量只能选x吗？

于是所求面积 A  A1  A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3     (x x 6x)dx 2 3 3 0     . 12 253  说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？