第四节反常积分一、无穷限的反常积分二、 无界函数的反常积分三、小结
第四节 反常积分 • 一、无穷限的反常积分 • 二、无界函数的反常积分 • 三、小结
无穷限的反常积分一定义1 设函数f(x)在区间[a,+)上连续，取b>a如果极限lim（f(x)dx存在，则称此极限为函数b+f(x)在区间[a,+o)上的反常积分，记作F[~ f(x)dx f(x)dx = limf(x)dxbt8当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散
一、无穷限的反常积分 1 ( ) [ , ) lim ( ) ( ) [ , ) ( ) ( ) lim ( ) . b b a a b a a b f x a b a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx →+ + + →+ + + = 定义 设函数 在区间 上连续，取 如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的 记作 当极 反常积分， 限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散
类似的，设函数f(x)在区间(-80,bl上连续，取a<b如果极限 limf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在区间(-o0,b)上的反常积分，记作f(x)dx[ f(x)dx = lim f(x)dx当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散
( ) ( , ] lim ( ) ( ) ( , ] ( ) ( ) lim ( ) . b a a b b b a a f x b a b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx →− − − →− − − = 类似的，设函数 在区间 上连续，取 如果极限 存在，则称此极限为函 数 在区间 上的反常积分，记 反常积分收敛 作 当极限存在时，称 ；当极限不 反常积 存 时，称 分发散 在
设函数f(x)在区间(-0,+o0)上连续，如果反常积分[f(x)dx和[f(x)dx都收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在无穷区间(-0,+80)上的反常积分，记作:{f(x)dxJ- f(x)dx = f" f(x)dx + ft° f(x)dx ["f(x)dx(° f(x)dx + lim= limb-+80a-→-0否则，称反常积分发散极限存在则称反常积分收敛；
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + + − − →− →+ = + = + 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) f x f x dx f x dx f x f x dx + − + − − + − + 设函数 在区间 上连续，如果反常 积分 和 都收敛 反常积分， ，则称上述 两反常积分之和为函数 在无穷区间 上的 记作： 极限存在则称反常积分收敛；否则，称反常积分发散
dx+8例11计算反常积分1-8011+x2dxdxdxro+8C+8解+181+x21+x21+x2Jo-8y110.bVEdxlimlimdx +-1+x22Joa--Ja1+x1+xb-→>+oo= lim [arctan x]' + lim [arctan x]0b+8oa→-80元(-)福=- lim arctana + lim arctanb一=元.2b-→+00a→-80
例1 计算反常积分 . 1 2 + − + x dx 解 + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = 0 lim arctan b b x →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − x o y 2 1 1 y x = +