第四节 有理函数的积分一、 有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结
第四节 有理函数的积分 • 一、有理函数的积分 • 二、三角函数有理式的积分 • 三、简单无理函数的积分 • 四、小 结
一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数P(x)_ ax" +axn-1 +...+an-ix+anQ(x) bx" +b,xm-1 +...+bm-x+b,1其中m、n均为非负整数；a,aj,,a,及bo,b,…,bm均为实数，并且a,≠0，b≠0
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) , , , , , , 0 0. n n n n m m m m n m P x a x a x a x a Q x b x b x b x b m n a a a b b b a b − − − − + + + + = + + + + 其中 、 均为非负整数； 及 均为实数，并且 ， 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式(1)n<m，这有理函数是真分式(2）n≥m,这有理函数是假分式;利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和x3 +x+1例=x+x+1x? +1难点：将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) , n m 这有理函数是真分式； (2) , n m 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 3 2 1 1 x x x + + + 2 1 . 1 x x = + + 难点: 将有理函数化为部分分式之和
根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即Q(x)= b,(x-a)~ ...(x-b)β(x2 + px+g) ...(x? + rx+ s)其中 p2-4g<0,.…,r2-4s<0
0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + + 根据多项式理论，任一多项式 Q x( ) 在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的 乘积，即 2 2 其中 4 0, , 4 0 p q r s − −
P(x)如果 Q(x)分解为上式，则式可分解为Q(x)AAAP(x)Q(x-a)a-1(x-a)αQ(x)(x-a)BBB2B+(x-b)B-1(x-b)B(x-b)M,x+N,Mx+NM,x+N,(x* + px + a)a-1(x2 + px + q)(x2 + px+q)R.x+sRx+sRx+s,+(x? + rx+ s)u-1(x+rx+s)u(x2 +rx+s)
1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x A A A Q x x a x a x a B B B x b x b x b − − = + + + − − − + + + + − − − 如果 分解为上式，则式 可分解为 ( ) ( ) P x Q x Q x( ) 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +