第三节分部积分基本内容二、例题三、 小结四、 思考题
第三节 分部积分 • 一、基本内容 • 二、例题 • 三、小结 • 四、思考题
一、基本内容设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数(uv) = u'v+ u',uv'=(uv) -u'v,[uv'dx = uv-Ju'vdx, [ udv=uv-f vdu.分部积分公式注：分部积分公式的作用：当左边的积分udv不易求得，而右边的积分vdu容易求得利用分部积分公式化难为易分部积分公式的关键：u和的选择
(uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容 分部积分公式的关键: 注:分部积分公式的作用：当左边的积分 udv 不易求得，而右边的积分 vdu 容易求得 利用分部积分公式——化难为易 u v 和 的选择. 设函数u u x v v x = = ( ) ( ) 和 具有连续导数
二、例题例1 求积分xcosxdx.dr?令u=cosx,二解（一)= dyxdx :-21xI xcos xdxsin xdxcosx +22显然，u,v选择不当，积分更难进行解（二）令u=x，cosxdx=dsinx=dv[ xcos xdx= [ xd sin x= xsin x - [ sin xdx=xsinx+cosx+C
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x + C. 二、例 题
求积分[x"e*dx.例2解： u=x2,edx = de* = dv,[x'e*dx = [ x'de* = x'e* -2] xe*dx（再次使用分部积分法）u=x，e"dx=dy=+’e*-2] xde* = x’e* -2(xe* -e*)+C.总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设正(余)弦函数或指数函数为 ，而幂函数为u，使其降幂一次(假定幂指数是正整数
例2 求积分 . 2 x e dx x 解: , 2 u = x e dx de dv, x x = = 2 2 x x x e dx x de = 2 2 x x = − x e xe dx 2 2( ) . x x x = − − + x e xe e C （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设正 (余)弦函数或指数函数为 ，而幂函数 为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) v 2 2 x x = − x e xde
I xarctanxdx.例3求积分解： 令u=arctanx,dxdx == dv2x arctan xdx = [ arctan xd2X+d(arctanx)arctanx--2x-22x-2x-221一dxarctanx21+x(.(1)drarctanx(x -arctanx)+ C.arctanx-2
例3 求积分 arctan . x xdx 解: 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 2 arctan arctan 2 x x xdx xd = (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − +