确定函数 例2 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) ∫(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x=1,x2=2 当-∞<x<时,∫(x)>0,∴在(-∞,1上单调增加; 当1<x<2时,f(x)<0,∴在1,2止上单调减少; 当2<x<+∞时,f(x)>0,∴在2,+0)上单调增加; 单调区间为(-∞,1b[1,2l,[2,+∞)
例2 解 . ( ) 2 9 12 3 3 2 的单调区间 确定函数 f x = x − x + x − D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)( x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3确定函数∫(x)=x2的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) 2 f(x)= (x≠0) 当x=0时,导数不存在 当-∞<x<Q时,f(x)<0,∴在(-,0上单调减少 当0<x<+∞时,∫(x)>0,∴在[0,+∞)上单调增加 单调区间为(-∞,0,[0,+∞)
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 例如,y=x3,yk==0,但在(-∞,+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>ln(1+x)成立 证设f(x)=x-ln(1+x),则f(x) 1+x ∫(x)在[0,+∞)上连续,且(0,+∞)可导,f(x)>0, 在[0,+∞)上单调增加;∵f(0)=0, 当x>0时,f(x)>f(0) x(x)>0,即x>m(1+x)
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时， x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. f (x) f (0)
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论 仍然成立 应用:利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式
三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式
思考题 若∫'(0)>0,是否能断定f(x)在原点的 充分小的邻域内单调递增?
思考题 若 f (0) 0，是否能断定f (x) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？