2x0≤x≤1y例1用Euler公式求解初值问题(h = 0.1)y(0)=1解2由题意知：2xx。= a = 0,n= 10,b=1,yo=1f(x,y)= yy根据Euler公式：2x(n = 0,1,...,9)n+1 = yn + hf(x,,y,)= y, + h(y,yn代入数据：2x2×0= 1.1yi = yo + h(yo1+ 0.1(1yo2 ×0.1y2 = yi +h(y)- 1.19181.1 + 0.1(1.11.1y1依次类推注方程的精确解：y= /1+2x6
-6- 解 2 ( , ) , x f x y y y 0 0 x a n b y 0, 10, 1, 1 由题意知： 根据 公式： Euler 1 ( , ) n n n n y y hf x y 2 ( ) n n n n x y h y y ( 0,1, ,9) n 0 1 0 0 0 2 ( ) x y y h y y 2 0 1 0.1(1 ) 1 1.1 1 2 1 1 1 2 ( ) x y y h y y 2 0.1 1.1 0.1(1.1 ) 1.1 1.1918 代入数据： 依次类推 . 注 方程的精确解：y x 1 2 例1 用 公式求解初值问题 Euler 2 0 1 x y y x y y(0) 1 （ ） h 0.1
2x0≤x≤1y'=yy例1(续）(h= 0.1)(0)=11.8xn数值解Jn精确解y(xn）n1.700.01.00001.0000Euler公式0.111.10001.09541.620.21.19181.18321.530.31.27741.264940.41.35821.34161.450.51.43511.41421.360.61.50901.483270.71.58031.54921.2精确解：y=V1+2x80.81.64981.61251.190.91.71781.6733101.01.78481.73210.1020.30.40.50.60.70.80.90-7-
-7- 例1 续( ) 2 0 1 x y y x y y(0) 1 （ ） h 0.1
Euler方法的几何意义y不y(xt)y(xn)Yn+1y(x2)yopyny(x)1y21y1-10xoX2xnXn+1Xix-8-
-8- n 1 y . Euler方法的几何意义 n y 2 y 1 y y x n1 y x n y x 2 y x 1 . 0 y n 1 x n x 2 x 1 x0 x
隐式公式2.后退的Euler方法将y=y(x)在x,点Tarloy展开：y"()y(x) = y(xn+1)+ y'(xu+)(x - xn+1)r2!y"(5)= y(xn+1)+ f(xn+1, y(xn+)(x - xn2!令x=x,:2y(x,) = y(xn+1)+ f(xn+1, y(xn+1)(x, - Xn+12!"(5)), 其中引 e(x,X+1)= y(xu+1)-hf(xu+1,y(xn+)+2!y"(n)即:y(xn+) = y(x,)+ hf(xu+1, y(x2!y"(5')n,截去 =得y(x,)的近似值y,满足：2!一后退Euler公式Yu+1 = yn + hf(xn+1,yn+1)-9-
-9- 2. Euler 后退的 方法 ( ) 1 Tarl yo n y y x x 将 在 点 展开： 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 ( ) ( ! n n n n y y x y x x y x x x x 1 1 1 2 1 1 ( , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )) ! n n n n n y y x x f x y x x x x : n 令x x 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( ))( ) ( ) 2 ! n n n n n n n n n y y y x f x y x x x x x x 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) , ( , ) 2 ! n n n n n n n y y x h h f x y x x x 其中 2 2 ( ) , 2! n y T h 截去 ( ) n n 得 的近似值 满足： y x y 1 1 1 ( , ) n n n n y y hf x y 后退 公式 Euler 即: 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( )) 2 ! n n n n n h y y x y x hf x y x 隐式公式
3.梯形公式隐式公式y"(5)n: y(xut)=y(x,)+hf(xn,y(x,))+2!"(E)ny(xn+1)= y(x,)+ hf(xn+1,J(xn+1))2!y"(5.)y"(5')h和T, =注意到：T2的"符号"相反12!2!所以，两式相加并截去"T+T"得：一梯形公式+[f(x,yn)+ f(xn+1,+1)Yn+1 = ynX-4.改进的Euler公式梯形公式为隐式公式，求解时往往需要求解非线性方程，实际计算中通常由Euler公式对y进行"预测"，利用梯形公式进行校正”Jn+i = yn +hf(x,,yn)一改进的Euler公式hyn+1 = y, +=If(x,yn)+ f(xn+1,Jn+1))-10-
-10- 1 2 ( ) ( ) ( ) ( , ( )) 2 ! n n n n n y y x y x hf x y x h 1 2 2 2 ( ) 2 ) ! ( 2 ! n n y T y T h h 注意到： 和 的"符号"相反 1 1 2 1 ( ) ( ) ( , ( ( )) ) 2 ! n n n n n y x y x hf x y x y h 所以，两式相加并截去" + "得： T1 T2 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 n n n n n n h y y f x y f x y 3.梯形公式 隐式公式 Euler n 1 y 梯形公式为 ，求解时往往需要求解非线性方程，实际计算 中通常由 公式对 进行"预测"，利用梯形公式进行 隐式公式 "校正" 1 ( , ) n n n n y y hf x y 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h y y f x y f x y 4. Euler 改进的 公式 梯形公式 改进的 公式 Euler