按此定义的二阶、三阶行列式，与§1中用对角线法则定义的二阶、三阶行 列式，显然是一致的.当n=1时，一阶行列式|al=a,注意不要与绝对值记号相 混淆」 例5证明n阶行列式 =入1A2.入n, =（-1)x12. 其中未写出的元素都是0. 证第一式左端称为对角行列式，其结果是显然的，下面只证第二式， 在第二式左端中，d,为行列式的(i,n-i+1)元，故记入，=a41,则依行 列式定义 02.m-1】 =（-1)'a1a2,m-4.a1=（-1)',入2.， 其中t为排列n(n-1).21的逆序数，故 t=0+1+2+.+(n-1)=n(n- 证毕 主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的 值与对角行列式一样. 例6证明下三角形行列式 0 D= a21a22 =aua2.am ala2.an 证由于当j>i时，a=0,故D中可能不为0的元素a,其下标应有 p≤i,即p≤1，p2≤2，p≤n. 在所有排列p1p2.p。中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列12.n, ·7
所以D中可能不为0的项只有一项(-1)'a1a2.am·此项的符号(-1)'= (-1)°=1，所以 D=auana §4对换 为了研究n阶行列式的性质，先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将 相邻两个元素对换，叫做相邻对换。 定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 证先证相邻对换的情形。 设排列为a1.aabb,.bn,对换a与b,变为a1.abub,.b.显然，a1,.,a:b1, bm这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a,b两元素的逆序数改变为：当a<b时，经对 换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变：当a>b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆 序数减少1.所以排列a,.aabb,.bn与排列a1.a,bab,.bn的奇偶性不同. 再证一般对换的情形. 设排列为a1aab1.bnbc,c.,把它作m次相邻对换，变成a1.aabb,.b1.c 再作m+1次相邻对换，变成a1.ab,-bac,.c.总之，经2m+1次相邻对换，排列a1 aab,.b.bc1.c。变成排列a1.abb,.bnac1.c。,所以这两个排列的奇偶性相反. 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为 偶数。 证由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是调排列（逆序数 为0)，因此知推论成立， 证毕 利用定理【，下面来讨论行列式定义的另一种表示法。 对于行列式的任一项 （-lan.,aa, 其中1.i.j.n为自然排列，t为排列p.p.p.户.的逆序数，对换元素a与a成 （-1'aa.aw.a. 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列 .j.i.n的逆序数为r,则r为奇数：设新的列标排列p.p.p,.p,的逆序数为，则 （-1)卢=-(-1.故(-1)‘=(-1)， 于是 （-1）'anw.a.a.=(-l）.1ah.ay.aw.aw. 这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换，则 行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性.经一次对换是如此，经多次对换当然还 是如此.于是，经过若干次对换，使： ·8·
列标排列p1p:.p,(逆序数为t)变为自然排列（逆序数为0）： 行标排列则相应的从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为q12“q。,其逆序数为 5,则有 （-1'ana2.aw.=(-1)'a,1ag.a. 又.若p,=j,则=认即aw=a,=ag).可见排列q19:.q.由排列p,p.力.所惟- 确定。 由此可得 定理2”阶行列式也可定义为 D=(-1'ap,4ag2“a. 其中t为行标排列Pp:p.的逆序数 证按行列式定义有 D=2(-1)'a,a,.a D,=2(-l'a,1a22.a 由上面讨论知：对于D中任一项(-1，“n"a,总有且仅有D,中的某一项 （-1)ra1a2.a.与之对应并相等：反之，对于D1中的任一项(-1)'a,1a,2a,也总 有且仅有D中的某一项(-)'a1,a“a与之对应并相等，于是D与D,中的项可以一 一对应并相等，从而D=D §5行列式的性质 记 an a2. aa2.a1 D= an .a2 .DT- an an .a a 行列式DT称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 证记D=det(a)的转置行列式 blbe.b1e b1bn2.bn 即DT的(i,)元为b4,则bn=4(i=1,2,.,n）,按定义 D=2-1'bn,n.b=2(-'a.a. 9
而由定理2，有 D=(-1'a,a2.a. DT=D. 证毕 由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立，反之亦然 性质2互换行列式的两行（列），行列式变号. 证设行列式 |bnbe.b. D1= baba.b :ξ bas be2.ba 是由行列式D=dc(a,)对换i,j两行得到的，即当k≠i,j时，b=aw:当k=i,j时，bn- a,b=a,于是 D1=2-1)'bn.bg,.b%.b =2(-1'a%.a%.a,a =2(-l'an.a4y,.u%.aw。' 其中1.i.n为自然排列，t为排列p1.p.p.p.的逆序数.设排列p1.p.p.p 的逆序数为t1,则(-1)=-（-1)八，故 D=-2(-11aw,.ayaw.a.=-D. 证毕 以r,表示行列式的第i行，以c,表示第i列.交换i,j两行记作r,+r,交 换i,j两列记作c,艹c,· 推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 证把这两行互换，有D=-D,故D=0. 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. 第i行（或列）乘以k,记作r×k(或c:×k). 推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外 面， 第i行（或列）提出公因子k,记作r,÷k(或c,÷k) 性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零. 性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素 都是两数之和： ana2.（a+ai,）a1n D=aa（a+ai)a ala2.(am+a).a 。10·
则D等于下列两个行列式之和： aa2.a1.a1. D=/a a2.a2 ala2.a.au aa.ai.a1n an.ai ana2.ai.am 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变， 例如以数k乘第j列加到第i列上（记作c,+kc),有 .a1.a.a1w .a2i .a.a2 aa.aw.aw al.（a:+kay）.ay.a1w +a2.(a+如）.a2 .a2 （i≠j). .(a+）.ag. (以数k乘第j行加到第；行上，记作r,+r,) 以上诸性质请读者证明之。 上述性质5表明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行 (或列)可分解为两个行列式.若”阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它 可分解成2”个行列式.例如二阶行列式 e- + 性质2,3,6介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即r,艹r,r,×k, r,+kr,和c,一G,c,×k,c,+c,利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利 用运算：+r,(或c+c,)可以把行列式中许多元素化为0.计算行列式常用的 一种方法就是利用运算：+kr,把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列 式的值.请看下例. 11