《概率论与数理统计》课程教学资源（概率论复习要点）第三章 多维随机变量及其概率分布

第三章多维随机变量及其桃率分布 二维随机向量(,n)的联合分布函数指F(xy)=PS,nSy； 维随机 0sFxy)s1;F∞，+∞)FFx-∞FF(-y)=0F(+o，+oF1 P(xIEx2.y1<nsy2)=F(x2.y2)-F(x2y1)-F(xLy2)+F(xi.y1) 二维随机向量（飞，）的边缘分布函数 Fx=P{E≤x=f(x,+∞，Fy=P{nsy=F(+o∞，y) 二维离散型随机变量及其概率分布 例1设二维随机向量(，n)的联合分布律为 n512 11613 2 14 P20 则常数a 可用一个分布列表或分布列矩阵()来 A、1/6B、1/4 C、1/3D、1/2 的e p阿=pr 隆郑空云时1所似a=4,选B l 维连续型随机向量，的分布函数FKy p(u.v)dudv 收》称为随机有ξ的联合密度高数y心冰1， F(x.y) 0xoy =D(x.y) 随 利用密度函数求概率P{(传，neD=Dp(X,y)dxdy 变量 二维连续型随机向量，n)的边缘分布，p(x),py)称为边缘密度函数 P(x(x.ydy p-(Y)-J.P(x.y)dx

第三章 多维随机变量及其概率分布 二 维 随 机 变 量 二维随机向量(,)的联合分布函数指 F(x,y)=P{x,y} 0F(x,y)1 ; F(-∞,+∞)= F(x,-∞)= F(-∞,y)=0; F(+∞,+∞)=1; P{x1x2,y1<y2}=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1) 二维随机向量(,)的边缘分布函数 F(x)= P{x}=F(x,+∞), F(y)= P{y}=F(+∞,y) 二 维 离 散 随 机 变 量 二维离散型随机变量及其概率分布 P{=xi,=yj}=pij , 其中    =  i=1 j 1 pij=1 且 pij0 可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来 表示  的边缘分布列为 P{=xi}=   j=1 pij = pi* 的边缘分布列为 P{=yj}=   i=1 pij = p*j 例 1 设二维随机向量（,）的联合分布律为 \ 1 2 1 1/6 1/3 2 1/4  则常数 = （ ） A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2 [答案]：    =  i=1 j 1 pij=1 所以 =1/4 , 选 B. 二 维 连 续 随 机 变 量 二维连续型随机向量(,)的分布函数 F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv p(x,y) 称为随机向量(,)的联合密度函数 p(x,y)0,  -∞ +∞  -∞ +∞ p(x,y)dxdy=1 ,  2F(x,y) xy =p(x,y) 利用密度函数求概率 P{(,)D}=D  p(x,y)dxdy 二维连续型随机向量(,)的边缘分布, p(x)，p(y) 称为边缘密度函数 p(x)=  -∞ +∞ p(x,y)dy p(y)=  -∞ +∞ p(x,y)dx

离散型：在条件Yy下随机变量X的条件概率分布为 p 连续型：在条件Y与y下随机变量X条件概率密度函数f(y)分别为： fx(xly)=f(y) 例1：设随机变量X在区间(0.)上服从均匀分布，在X=(O<1)的条件下，随机变量Y 在区间(0，)上服从均匀分布，求：随机变量X和Y的联合概率密度： 懈：X的率密度为究，在Xx0的条件下， Y的条件概率密度为n盆 当0sy<1时，随机变量X和Y的联合概率密度为fxyfx)y)=k 在其它点仪处，有)，即X和Y的联合概率密度为》一价超 例2：设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为PX=i=3(=L,01), 概率密度为fy0完2，记Z=XY,求PZ≤121X0。 12 懈：)PZ≤x=0,=PX+YX-0,=PYs01d-号D

条 件 分 布 离散型：在条件 Y=yj 下随机变量 X 的条件概率分布为 P{X=xi|Y=yj}= P{X=xi，Y=yj} P{Y=yj} = pij p*j , i=1,2,. 连续型：在条件 Y=y 下随机变量 X 条件概率密度函数 fX|Y(x|y)分别为： fX|Y(x|y) = f(x,y) fY(y) 例 1：设随机变量 X 在区间 (0,1)上服从均匀分布，在 X=x (0<x<1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0,x)上服从均匀分布，求：随机变量 X 和 Y 的联合概率密度； [解]：X 的概率密度为 fX(x)=   1 0<x<1 0 其他 ，在 X=x (0<x<1)的条件下， Y 的条件概率密度为 fY|X(y|x)=   1/x 0<y<x 0 其他 当 0<y<x<1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x 在其它点 (x,y)处，有 f(x,y) =0，即 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x,y) =   1/x 0<y<x<1 0 其他 例 2：设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 概率分布为 P{X=i}=1/3 (i=-1, 0 1)， 概率密度为 fY(y)=   1 0y1 0 其它 ，记 Z=X+Y， 求 P{Z1/2 | X=0}。 [解]：(1) P{Z 1 2 |X=0}= P{X+Y 1 2 |X=0}= P{Y 1 2 }= 0 1/2 1dy= 1 2 . 

二元正态分布N4,o12,02P)的密度函数 元 正态分 二元正态分布N(,2,o2,o2'p)的边缘密度分布仍是正态分布ENu1,o1),rN(u2,02 边缘概率密度为6x= fv(y)= X,Y)在区域D上服从均匀分布一设D是xOy面上的有界区域，其面积为A,如果二维随机变量(XY 只有装率度y尽eD ,则称(XY)在区域D上服从均匀分布。 (0其他 例1：设(XY)服从区域D:{Ky:a≤x≤b,c≤y≤d)上的均匀分布，求 均有 (I)(XY)的联合概率密度pxy沙： (2)XY的边际概率密度pxx),py) 解l:(1)fx,y)=了(b-ad-g asxsb csysd 0其他 (0其他 例1设二维随机变量(XY)的分布函数F(xyFA(B+arctan(C+arctan.试求：(I)常数AB,C:(2)(XY) 的概率密度。[解]：由分布函数性质，得到F(+∞，+∞)FA(B+(C+,FK-)A(B+arctan(C-0 F(.y)-A(B-XC+acan时o,解得AB-C-.即FKy之爱+acan行+arctan的. 例2：设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求P{max{X,Ys1。 [解：Pimax{X,Ys1=PXs1且Ys1h,因为X与Y相互独立，所以 PX1且Ye1=PiX<IP(Y3I为号.（这里PX1=口 1 例3：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为x,)=0 1,0<x<1,0<y<2x 其它 求：(XY)的边缘概率密度x,y) 阅-Ky尚C齐山-水所以边线据率需度合经 fypldx=I-y

二 元 正 态 分 布 二元正态分布 N(1,2,1 2 ,2 2 ,)的密度函数 p(x,y)= 1 212 1- 2 exp{- 1 2(1- 2 ) [ (x-1) 2 1 2 - 2(x-1)(y-2) 12 + (y-2) 2 2 2 ]} 二元正态分布 N(1,2,1 2 ,2 2 ,)的边缘密度分布仍是正态分布 ~N(1,1 2 ) , ~N(2,2 2 ) 边缘概率密度为 fX(x)= 1 1 2 e - (x-1) 2 21 2 , fY(y)= 1 2 2 e - (y-2) 2 22 2 二 元 均 匀 分 布 (X,Y)在区域 D 上服从均匀分布⎯设 D 是 xOy 面上的有界区域，其面积为 A。如果二维随机变量(X,Y) 具有概率密度 f(x,y)=   1 A (x,y)D 0 其他 ，则称(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布。 例 1:设 (X,Y) 服从区域 D：｛(x, y)：a≤x≤b, c≤y≤d｝上的均匀分布，求 （1）(X,Y) 的联合概率密度 p(x, y)； （2）X, Y 的边际概率密度 pX(x) , pY(y) ; [解]：(1) f(x,y)=    1 (b-a)(d-c) axb cyd 0 其他 ; (2) pX(x)=  -∞ +∞ p(x,y)dy =    1 b-a axb 0 其他 , pY(y)=  -∞ +∞ p(x,y)dx=    1 d-c cyd 0 其他 例 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)=A(B+arctanx 2 )(C+arctany 3 )。试求：(1)常数 A,B,C；(2) (X,Y) 的概率密度。[解]：由分布函数性质，得到 F(+∞,+∞)=A(B+ 2 )(C+ 2 ), F(x,-∞)=A(B+arctanx 2 )(C-  2 )=0, F(-∞,y)=A(B-  2 )(C+arctany 3 )=0, 解得 A= 1  2 , B=C= 2 . 即 F(x,y)= 1  2 (  2 +arctan x 2 )( 2 +arctan y 3 )。 (2) f(x,y) =  2F(x,y) xy = 6  2 (x 2+9)(y 2+4) .  例 2: 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求 P{max{X,Y}1}。. [解]：P{max{X,Y}1}=P{X1 且 Y1}，因为 X 与 Y 相互独立，所以 P{X1 且 Y1}= P{X1}P{Y1}=1 3  1 3 = 1 9 。（这里 P{X1}=0 1 1 3 dx= 1 3 ）  例 3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) =   1， 0<x<1，0<y<2x 0， 其它 求： (X,Y) 的边缘概率密度 fX(x), fY(y)； [解]：fX(x)=  -∞ +∞ f(x,y)dy ==== 0<x<1  1 2x 1dy= 2x, 所以边缘概率密度 fX(x)=   2x 0<x<1 0 其它 fY(y)=  -∞ +∞ f(x,y)dx ==== 0<y<2 y/2 1 1dx= 1- 1 2 y, 所以边缘概率密度 fY(y)=   1-y/2 0<y<2 0 其它 

例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 综上所述 xy{v061092 0 x<0或y<0 0sx1及0≤y<2 求(1)常数C(2PX+Y21}:(3)联合分布函数F化y) [解]：(1)由的概率密度性质得到 F(x.y)= 0sx1及y2≥2 1AKyt-06ee四-子→ 12 X21及0sv<2 1及y22 (2) PX+Yz1xtyz.y)dxdy-Dx.y)dxdy -0d4-语47-月 (3)当x<0或y<0时， F(*.yI(u.v)dudv-0. 当0sx1,0Sy<2时， F()u.v)dudv0r+罗aud-等 音 当0≤xL,y≥2时， o Fy-j.t/wydu所e学ah号等 当x21,0sy<2时， -Lp(wwwah-l学ar号 当x2L,y22时， F(.y)-I>pu.v)dudv-I 若F(x.y)-F:(x)F,则称随机 例1上袋中有2只白球，3只黑 【解]，)的联合分布与边际分 变量ξ与n相互独立。 球，现进行无放回地摸球，定义：布为 几个充要条件： ∫1第一次摸出白球 EAn o 1 pE 连续型随机变量：与n相互独立 ξ= 0第一次摸出里球 0 3/103/106/10 1第二次摸出白球 0第二次摸出黑球 310110 410 pm6104/10 性 Pij-p:P 求()（，n)的联合分布 二元正态分布N(41.G22.o220】 (2)5,n的边际分布： 因为 随机变量：与n相互独立一p=0 (3)5,n是否相互独立？ p0,0)=3/10≠p:(0)pm0)=9/25 所以ξ与n不独立。口 X与Y相互独立→X)与g(Y 也相互独立

例 4 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=   x 2+cxy 0x1.0y2 0 其他 求(1)常数 C; (2)P{X+Y1};(3)联合分布函数 F(x,y). [解]：(1)由的概率密度性质得到 1= -∞ +∞  -∞ +∞ f(x,y)dxdy=0 1  0 2 (x2+cxy)dxdy=2 3 +c  c= 1 3 ; (2) P{X+Y1}=x+y1   f(x,y)dxdy=D  f(x,y)dxdy =0 1 dx1-x 2 (x2+ xy 3 )dy=0 1 ( 5 6 x 3+ 4 3 x 2+ 1 2 x)dx = 65 72 (3) 当 x<0 或 y<0 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=0; 当 0x1, 0y<2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv= 0 x  0 y (u2+ uv 3 )dudv=x 3y 3 + x 2y 2 12 ; 当 0x1, y2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=0 x 0 2 (u2+ uv 3 )dudv=2x3 3 + x 2 3 ; 当 x1, 0y<2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=0 1 0 y (u2+ uv 3 )dudv=y 3 + y 2 12; 当 x1, y2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=1 综上所述 F(x,y)=      0 x<0或y<0 x 3y 3 + x 2y 2 12 0x1及0y<2 2x3 3 + x 2 3 0x1及y2 y 3 + y 2 12 x1及 0y<2 1 x1及y2 独 立 性 若 F(x,y)=F(x)F(y)，则称随机 变量  与  相互独立。 几个充要条件： 连续型随机变量  与  相互独立  p(x,y)=p(x)p(y) 离散型随机变量  与  相互独立  pij=pipj 二元正态分布 N(1,1 2 ,2,2 2 ,) 随机变量与相互独立=0。 X 与 Y 相互独立 f(X)与 g(Y) 也相互独立。 例 1：袋中有 2 只白球，3 只黑 球,现进行无放回地摸球，定义：  =    1 第一次摸出白球 0 第一次摸出黑球 =    1 第二次摸出白球 0 第二次摸出黑球 求:(1)（，）的联合分布； （2）， 的边际分布； （3）， 是否相互独立？ [解]:(,)的联合分布与边际分 布为 \  0 1 p 0 3/10 3/10 6/10 1 3/10 1/10 4/10 p 6/10 4/10 因为 p(0,0)=3/10p(0)p(0)=9/25 所以  与  不独立。 

例2设代的率密度为，0买他公0，求：关于X及关于Y的边餐率密度，并 断X与Y是否相互独立。 解：关于X的边缘概率密度6Ky炒，当0s心1时，xyd=4x2,当x0或o1时， fxt:所以6{.同理当0sy1时，i8yd=y.其它情况f0所 关于Y的边锋概率密度0r物究1.固为当0GL他g1时，K加eG,所X与 Y不独立。 几条结论： 1.XP,YP2,若X与Y相互独立，则X+YP1+方 2X,o,YN,o,X与Y相互独立，则X+YN,or+o 3.(卷积公式)设(XY)是二维连续型随机变量，其概率密度为x),关于XY的边缘概率密度分别 为设X与Y箱互立，则ZXY的省度为Ne fXz)=J.fx(z-y)fv(y)dy-l.f(z-y.y)dy. 两 XY012 例1：已知的联合概率分布为 求(1)X+Y的概率分布：(2)XY的概率分布。 量的函数 11123 L1012j 0Z的分有锋形，4a0-品Daml略45 3 az的分布#为14+n1nd品om1n小吧5nn]d 1 布 例2：设随机变量X,Y相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，求X+Y的概率密度 [解]：X~U[0,Y~U0,所以Z=X+Y在有效区间[0,2]上取值。利用卷积公式得到 i积分变量的有效区线为GL01台0,2l 当0s2s1时，20lx1dk=乙当1<≤2时，f以2小2-1lx1dx=2-z当的其余取值时，fz0。 「z0ss1 所以Z的概率密度2

例 2 设(X,Y)的概率密度为，f(x,y)=   8xy 0x1及0yx 0 其他 , 求：关于 X 及关于 Y 的边缘概率密度，并判 断 X 与 Y 是否相互独立。 [解]：关于 X 的边缘概率密度 fX(x)=  -∞ +∞ f(x,y)dy, 当 0x1 时，fX(x)= 0 x 8xydy=4x3 , 当 x<0 或 x>1 时， fX(x)=0; 所以 fX(x)=   4x3 0x1 0 其他 。同理当 0y1 时，fY(y)= y 1 8xydx=4y(1-y 2 ), 其它情况 fY(y)=0, 所以 关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)=   4y(1-y 2 ) 0x1 0 其他 . 因为当 0x1, 0y1 时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 几条结论： 1. X~P(1), Y~P(2), 若 X 与 Y 相互独立，则 X+Y~P(1+2); 2. X~N(1,1 2 ), Y~ N(2,2 2 ), X 与 Y 相互独立，则 X+Y~ N(1+2,1 2+2 2 ); 3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为 f(x,y)，关于 X,Y 的边缘概率密度分别 为 fX(x), fY(y)，设 X 与 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)=  -∞ +∞ fX(x)fY(z-x)dx= -∞ +∞ f(x, z-x)dx 或 fZ(z)=  -∞ +∞ fX(z-y)fY(y)dy= -∞ +∞ f(z-y, y)dy. 例 1:已知的联合概率分布为      X|Y 0 1 2  0 1/4 1/10 3/10 1 3/20 3/20 1/20 , 求(1)X+Y 的概率分布；(2)XY 的概率分布。 [解]：令 Z1=X+Y，则 Z1 的加法表为     X+Y 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 3 ,令 Z2=XY，则 Z2 的乘法表为     XY 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 , (1) Z1 的分布律为   Z1  0 1 2 3 P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20 , 即   Z1  0 1 2 3 P 1/4 5/20 9/20 1/20 (2) Z2 的分布律为   Z1  0 1 2 P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20 , 即   Z1  0 1 2 P 4/5 3/20 1/20  例 2:设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，求 X+Y 的概率密度。 [解]：X~U[0,1], Y~U[0,1], 所以 Z=X+Y 在有效区间[0,2]上取值。利用卷积公式得到 fZ(z)=  -∞ +∞ fX(x)fY(z-x)dx。 积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1  0xz, z-1x1. 当 0z1 时，fZ(z)= 0 z 11dx=z; 当 1<z2 时，fZ(z)=  z-1 1 11dx=2-z;当的其余取值时，fZ(z)=0。 所以 Z 的概率密度 fZ(z)=    z 0z1 2-z 1<z2 0 其他 