数ag(i=1,2:j=1,2)称为行列式(4)的元素或元.元素a,的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第1行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第 j列.位于第i行第j列的元素称为行列式(4)的(i)元. 上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1.l,把a:到a2 的实联线称为主对角线，a2到a21的虚联线称为副对角线， 于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角 线上两元素之积所得的差. 利用二阶行列式的概念，(2)式中x,x2的分子也可写 成二阶行列式，即 图1.1 an auba bouem b a1 b: 若记 D-2. 那么(2)式可写成 D. D。 an b2 z=D- 注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列式（称系数行 列式)，x1的分子D,是用常数项b1,b2替换D中x,的系数a1,a:所得的二 阶行列式，x2的分子D2是用常数项b1,b2替换D中x2的系数a2,a2所得的 二阶行列式 例1求解二元线性方程组 J∫3x1-2x2=12, 2x1+x2=1. 解由于 。-B引3-(0=70， o,=-2-(2-4. a-月3-24=-2 D. 因此 号9-2号-3 ·2
二、三阶行列式 定义设有9个数排成3行3列的数表 anan.ap a24a2a23 (5) as ay a3, 记 ananan a21a22a23 asas ass =ananas+anazan ananas-anazax -ananan-ananas, (6) (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式. 上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘 积再冠以正负号，其规律遵循图1.2所示的对角线法则：图中有三条实线看做是 平行于主对角线的联线，三条虚线看做是平行于副对角线的联线，实线上三元素 的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号 图1.2 例2计算三阶行列式 12-4 D=-221 -34-2 解按对角线法则，有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 -1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) =-4-6+32-4-8-24=-14. 例3求解方程 ·3·
111 23x=0. 49x2 解方程左端的三阶行列式 D=3x2+4.x+18-9x-2x2-12 =x2-5x+6, 由x2-5x+6=0解得x=2或x=3. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面 先介绍有关全排列的知识，然后引出”阶行列式的概念。 §2全排列及其逆序数 先看一个例子」 引例用1,2,3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种 不同的放法？ 显然，百位上可以从1,2,3三个数字中任选一个，所以有3种放法：十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法：而个位上只能放最后剩下的 一个数字，所以只有1种放法.因此，共有3×2×1=6种放法。 这六个不同的三位数是： 123,231,312,132,213,321. 在数学中，把考察的对象，例如上例中的数字1,2,3叫做元素.上述问题就 是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于”个不同的元素，也可以提出类似的问题：把”个不同的元素排成一 列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P。表示.由引例的结果可知P,= 321=6. 为了得出计算P。的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法： 又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n一1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取 法.于是 Pn=n.(n-1)小.321=nl. 对于”个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同 ·4
的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列 下面来讨论计算排列的逆序数的方法 不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为 标准次序.设 p1p2.p 为这n个自然数的一个排列，考虑元素p,(i=1,2,·,n),如果比户：大的且排 在p,前面的元素有t,个，就说p:这个元素的逆序数是.全体元素的逆序数之 总和 4=+,++=会4 即是这个排列的逆序数. 例4求排列32514的逆序数. 解在排列32514中： 3排在首位，逆序数为0： 2的前面比2大的数有一个(3)，故逆序数为1： 5是最大数，逆序数为0： 1的前面比1大的数有三个(3、2、5)，故逆序数为3： 4的前面比4大的数有一个(5)，故逆序数为1，于是这个排列的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5. §3n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式定 义为 a11a12a3 a2a22a23=a1ana33+a2a23a1+a13a21a2 a3 a32 a3 -a11a23Q32-a12a21a33-013a22a31. (6) 容易看出： ()(6)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的 行、不同的列.因此，(6)式右端的任一项除正负号外可以写成a4,“,·这 5
里第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成p1p2,它 是1,2,3三个数的某个排列.这样的排列共有6种，对应(6)式右端共含6项. ()各项的正负号与列标的排列对照. 带正号的三项列标排列是123,231,312： 带负号的三项列标排列是132,213,321. 经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.因此各项所 带的正负号可以表示为(-1)‘，其中：为列标排列的逆序数. 总之，三阶行列式可以写成 an an an3 ananan=(-1)'au ain an as.an a3s 其中t为排列p1p2p,的逆序数，∑表示对1,2,3三个数的所有排列p1p2p,取 和. 仿此，可以把行列式推广到一般情形. 定义设有n2个数，排成n行n列的数表 ana12.a1w anan "dz 车”中中年4 ala2an 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（一1）'，得到形如 （-1'an,a,"a (7) 的项，其中p1p2.p。为自然数1,2，.，n的一个排列，t为这个排列的逆序数， 由于这样的排列共有n!个，因而形如(7)式的项共有n!项.所有这n!项的 代数和 (-1)'a1ea22.a 称为见阶行列式，记作 ala2.a1. a24a2. a2m D= :: aala2. 简记作det(ag),其中数au为行列式D的(i,j)元. ·6·