例2判别下列集合是否为向量空间. ==0,x2,x2,R 解V是向量空间. 因为对于V的任意两个元素 a=(0,2,0n）,B=(0,b2,bn）ey, 有a+B=(0,a2+b2,n+bny∈y a=(0,2,.,nn）'eY
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
例3判别下列集合是否为向量空间。 2={x=(1,x2,xnx2,.,xn∈R 解V,不是向量空间， 因为若a=(1,2,an）YeV2, 则2a=(2,2a2,2an了eV2
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n
例4设a,b为两个已知的n维向量，集合 V={x=M+b2,4∈R 试判断集合是否为向量空间. 解V是一个向量空间因为若1=2M+山b x2=九2a+42b,则有 x1+x2=(21+2)M+(41+2)b∈V, k1=(k2)a+(k4)b∈V. 这个向量空间称为由向量4，b所生成的向量空 间
例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b, R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1 a + 1 b x2 = 2a + 2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 + 2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空
般地，由向量组41,42，1m所生成的向量空 间为 V={c=元1a1+22+.+n0m21,2,2m∈R 例5 设向量组a1,.,am与向量组b1,.,b,等价， 记 Y={x=41+22+.+nanm21,2,Lm∈R} V2={x=4b1+2b2+.+4,b,41,42,.4,∈R} 试证：V=V2·
V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++ m m 1 ,2 , , m 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为 . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + + = = + + + 试证： 记 设向量组 与向量组 等价， 例 5