定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义x,是(a,b)内的一个点如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点x,除了点x外,f(x)<f(x)均成立,就称f(x)是函数f(x)的一个极大值如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点x,除了点x,外,f(x)>f(x)均成立,就称f(x)是函数f(x)的一个极小值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点经济数学微积分
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 称 是函数 的一个极小值 的任何点 除了点 外 均成立 就 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内 称 是函数 的一个极大值 的任何点 除了点 外 均成立 就 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点
2．函数极值的求法定理1（必要条件）设f(x)在点x.处具有导数，且在x.处取得极值，那么必定f（x）=0.定义使导数为零的点(即方程 f'(x)=0的实根)叫做函数 f(x)的驻点注意：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点例如，J=x,J|x=0=0，但x=0不是极值点经济数学微积分
2．函数极值的求法 设 f (x)在点 0 x 处具有导数,且 在x0处取得极值,那么必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点
定理2（第一充分条件）(1)如果x E(x-S,x),有f(x)>0;而x E (xo,x +S)有f(x)<0，则f(x)在x处取得极大值(2)如果x E(x-S,x),有f(x)<0;而x E(xo,X +)有f(x)>0，则f(x)在x处取得极小值，f(x)(3)如果当xE(x。-S,x)及xE(xo,X+)时,符号相同，则（x）在x处无极值经济数学微积分
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0 处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f ( x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件)
yyXtxoxxox(是极值点情形)yy++otaxxoxXo(不是极值点情形)华经济数学微积分
x y o x y o 0 x 0 x + − − + (不是极值点情形) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)
例1 求出函数 f(x)=x3-3x2-9x+5的极值解 f'(x) = 3x2 -6x-9 =3(x+1)(x-3)令 f'(x)=0， 得驻点 xi =-1,x2 = 3.列表讨论3x-1(-1,3)(3,+0)(-80,-1)00f'(x)++极小值极大值f(x)?个个极大值 f(-1) =10极小值f(3)=-22.C经济数学微积分
例 1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (− , − 1 ) − 1 ( − 1 , 3 ) 3 (3,+ ) f ( x ) f ( x ) + − + 0 0 极大值 极小值 极大值 f ( − 1 ) = 10 , 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3)