例2 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间W解 D :(-00,+0).f(x) = 6x2 - 18x + 12= 6(x -1)(x - 2)0.51.52.52解方程f'(x)=0 得，x, =1,x,=2.当-80<x<1时，f(x)>0，： 在(-8,1]上单调增加:当1<x<2时,f(x)<0，：在[1,2]上单调减少;当2<x<+oo时，f(x)>0，：.在[2,+o0)上单调增加;单调区间为(-0,1]，[1,2]，[2,+),华经济数学微积分
例2 解 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3不确定函数 f(x)=/x2的单调区间解: D : (-80,+o),2.52f'(x) :(x±0)V33/反-2当x=0时,导数不存在当-0<x<0时，f(x)<0,： 在(-80,0]上单调减少;当0<x<+时，f'(x)>0，：在[0,+8)上单调增加单调区间为(一80,0],[0,+),经济数学微积分
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意：区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性例如，y=x3，Jx==0，但在(-o0,+)上单调增加例4f(x)= x+ sinx, x e (-oo,+o)f'(x) =1+cosx ≥0解（等号仅在某些点成立！）所以f(x)=x+sin x在x E(-o0,+o)上单调增加化经济数学微积分
注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. 例4 （等号仅在某些点成立！） f (x) = x + sin x, x(− ,+ ) 解 f (x) = 1 + cos x 0 所 以f (x) = x +sin x在x(−,+)上单调增加
3．利用单调性证明不等式例4 当x>0时,试证x>ln(1+x)成立x证 设f(x)=x-In(1+x), 则 f(x)=1+ x: f(x)在[0,+)上连续，且在(0,+o)可导,f'(x)>0,：:在[0,+)上单调增加；：f(0)=0,: 当x>0时， x-ln(1+x)>0，即 x>In(1+x).思路：构造函数使f(x)>f(a),(f(a)≥0)或(x)< f(a),(r(a)≤0)微积分经济数学
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时， x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 3．利用单调性证明不等式 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ), ( ( ) 0) , 0 f x f a f a f x f a f a 或 思路：构造函数，使 f x( ) [0, ) 在 + 上 连续，且在 (0, ) ( ) 0, + 可 导， f x
函数的极值(二extremum1．函数极值的定义yy=f(x)xax0xsxbX2X3x42L0Xo0xoxx经济数学微积分
二、函数的极值( extremum ) o x y a b y = f (x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 o x y o x y x0 0 x 1．函数极值的定义