《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第四章 中值定理与导数的应用 4-3 导数的应用

f(x)=x3-3x2-9x+5图形如下yM10512-2-14-5-10-15-20m经济数学微积分

( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下

定理3（第二充分条件）设f(x)在x.处具有二阶导数,且f(x)=0，f"（x)±0，那末(1)当f(x)<0时，i函数f(x）在x.处取得极大值：(2)当f"(x)>0时，é函数f(x)在x。处取得极小值f'(xo + Ar)- f'(xo)证 (1) ： f"(xo)=lim<0,Ar4r-→0故f(x+△x)-f(x)与△x异号，当△x<0时，有f'(x, +△x)> f(x) = 0,当△x >0时，有f'(x, +△x)< f'(x)= 0,所以，函数f(x)在x,处取得极大值。同理可证(2)微积分经济数学

设 f (x)在x0 处具有二阶导 数,且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x  , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x)在x0 处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0  0  0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 所以，函数 f (x)在x0 处取得极大值． 同理可证(2)

例2求出函数f(x)=x3+3x2-24x-20的极值解f(x) = 3x2 + 6x -24 = 3(x + 4)(x-2)令 f'(x)= 0,得驻点 x, =-4， x, = 2.: f"(x) = 6x+ 6.：f"(-4)=-18<0,故极大值 f(-4) = 60,f"(2) = 18 > 0,故极小值f(2)=一48.f(x)= x3 +3x2-24x-20图形如下福微积分经济数学

例2 解 ( ) 3 24 20 . 求出函数 f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 ( ) 3 6 24 2 f  x = x + x − 令 f (x) = 0， 4, 2. 得驻点 x1 = − x2 = = 3(x + 4)( x − 2)  f (x) = 6x + 6,  f (−4) = −18  0, 故极大值 f (−4) = 60, f (2) = 18  0, 故极小值 f (2) = −48. ( ) 3 24 20 3 2 f x = x + x − x − 图形如下

604020-6-2-4-20-40m注意：f"(x）=0时,f(x)在点x处不一定取极值仍用定理2.经济数学微积分

M m 注意: 2. ( ) 0 , ( ) , 0 0 仍用定理 f  x = 时 f x 在点x 处不一定取极值

注意：函数的不可导点也可能是函数的极值点2例3求出函数 f(x)=1-(x-2)3的极值1解f'(x)2)(x ± 2)3当x = 2时,f(x)不存在.但函数f(x)在该点连续M当x<2时，f'()>0;0.750.50.25当x>2时，f'(x)<00.25:. f(2)=1为f(x)的极大值0.5经济数学微积分

例3 解 ( ) 1 ( 2) . 3 2 求出函数 f x = − x − 的极值 ( 2) ( 2) 3 2 ( ) 3 1  = − −  − f x x x 当x = 2时, f (x)不存在. 当x  2时，f (x)  0; 当x  2时，f (x)  0.  f (2) = 1为f (x)的极大值. 但函数f (x)在该点连续. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. M