01曲线的凹凸性与拐点COORA人邮教育定理3.12设f(x)在[a,bl上连续在(a,b)内二阶可导.那么(1)若对VxE(a,b),f"(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若对VxE(a,b),f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
定理3.12 设 f (x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内二阶可导,那么 (1)若对 x(a,b)，f (x) 0, 则 f (x)在[a,b]上的图形是凹的; (2)若对x(a,b)，f (x) 0, 则 f (x)在[a,b]上的图形是凸的. 6 01 曲线的凹凸性与拐点
01曲线的凹凸性与拐点COA0PS人邮教育求函数凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数的定义域：(2)求出函数的二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点划分区间(3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号，利用定理3.12判断每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标
求函数凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出函数的二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二 阶导数不存在的点,划分区间; 判断每个区间的凹凸性,并进一步求出拐点坐标. (3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号, 利用定理3.12 7 01 曲线的凹凸性与拐点
01曲线的凹凸性与拐点COA0RA人邮教育例判定曲线y=lnx的凹凸性0解定义域为(0,+8），1所以曲线y=lnx在(0,+o）是凸的
8 判定曲线 y ln x 的凹凸性. 定义域为(0,) ， 1 y x ， 例 1 解 2 1 y 0 x 01 曲线的凹凸性与拐点 所以曲线 y ln x 在 (0,) 是凸的
01曲线的凹凸性与拐点CO0RA人邮教育例2讨论曲线y=sinx在[0,2元]上的凹凸性口解因为y'=cosx，"=-sinx，所以在(0,元)内，J"<0，该曲线是凸的;在(元,2元)内，">0，该曲线是凹的
9 y cos x ， 例 2 解 01 曲线的凹凸性与拐点 讨论曲线 y sin x 在[0,2π]上的凹凸性. 在 (0, π)内，y 0，该曲线是凸的； 在(π 内，y 0，该曲线是凹的. , 2π) 因为 y sin x ，所以
010000曲线的凹凸性与拐点R人邮教育3例判定曲线y=x·arctanx的凹凸性福x口解定义域为（-oo,+），y'=arctanx1+x221- x?1+x2-x·2x111+x2(1+x)(1 + x2)2(1+x2)21+x?所以对xER，J">O，从而曲线是凹的
10 判定曲线 y x arctan x的凹凸性. 定义域为 (-,) , 2 arctan 1 x y x x , 所以对 x R , y 0, 从而曲线是凹的. 例 3 解 2 2 2 2 1 1 2 1 (1 ) x x x y x x 2 2 2 2 1 1 1 (1 ) x x x 2 2 2 (1 x ) 01 曲线的凹凸性与拐点