第六章数学分析$5函数的凸性与拐点微分中值定理及其应用
§5 函数的凸性与拐点 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
55函数的凸性与拐点第二十讲函数的凸性，詹森不等式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 函数的凸性，詹森 不等式 第二十讲
55函数的凸性与拐点从两个熟悉的函数 =x2与=x的图像来看凸性的不同：yyxV=三XB4ABox0xy=x(y=√x)上任取两点A,B，弦 AB 恒在曲线段 XB 的上方(下方).后退前进目录退出数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数 2 yx y x = = 与 的图像来看 凸性的不同： 2 y x y x = = ( )上任取两点A B, , 弦 恒在曲线 AB 段 » AB 的上方(下方) . 2 y x = A B x y O • • A B y x = x y O 后退 前进 目录 退出
55函数的凸性与拐点定义1设f为区间I上的函数.若对于I上的任意两点xi,x, 和任意实数(0,1),总有f(axi +(1-a)x,)≤ af(x)+(1-a)f(x,), (1)则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有f(ax, +(1-a)x2)≥ af(x)+(1-a)f(x,), (2)则称f为I上的一个凹函数如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定义1 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号, 则相应 设 f 为区间 I上的函数. 1 2 x x, 和任意实数 λ ∈(0, 1),总有 1 21 2 f x x fx fx ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (1) λ λλ λ +− ≤ +− 则称 f 为 I上的一个凸函数. 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 1 21 2 f x x fx fx ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (2) λ λλ λ +− ≥ +− 的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 反之如果总有 若对于 I 上的任意两点
55函数的凸性与拐点由此可得=x2在(-0,+)上为严格的凸函数，y=√x为[0,+80)上的严格凹函数很明显，若,f(x)为(严格)的凸函数,那么-f(x)就为(严格)凹函数，反之亦然数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 2 由此可得 在 ， 上为严格的凸函数， y x = −∞ + ∞ ( ) 很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 y x = 为 [0 . ，+ ∞)上的严格凹函数 为(严格) 凹函数，反之亦然