实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性第二讲聚点定理数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 第二讲 聚点定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性聚点定理定义2设S为数轴上的非空点集，为直线上的一个定点(当然可以属于 S,也可以不属于S).若对于任意正数ε,在（-+)中含有S的无限个点，即U(;ε)I S=无限集，则称是 S 的一个聚点的一个聚点;比如:0是S=n的两个聚点-1, 1是 S =3(-1)" +=n数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义2 设 S 为数轴上的非空点集, ξ 为直线上的一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于S). 数 ε ,在 (ξ− ε, ξ +ε) 中含有S 的无限个点, 1 0 S n = 比如: 是 的一个聚点; 聚点定理 U S (;) ξ ε I = 无限集 , 则称ξ 是 S 的一个聚点. 即 1 1, 1 ( 1) . n S n − =− + 是 的两个聚点 聚点定理与有限覆盖定理 若对于任意正
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性若设 S是[0,1I中的无理数全体，则 S的聚点集合S(称为 S的导集)为闭区间[0,1].为了便于应用，下面介绍两个与定义2等价的定义定义2V设O±SCR,ER.若对于任意ε>0.U;ε)I S≠の,那么称是 S的一个聚点定义2"若存在各项互异的收敛数列(x,}C S,那么极限 limx，=称为S的一个聚点。n->0下面简单叙述一下这三个定义的等价性数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义2” 定义2’ 为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义. 设 ∅≠ ⊂ ∈ SR R , . ξ ε 若对于任意 > 0, 若存在各项互异的收敛数列 {x } S, n ⊂ 那么极限 lim x 称为S的一个聚点. n n = ξ →∞ 若设 S 是 [0, 1]中的无理数全体, US S (; ) , ξ ε ≠ ∅ ξ . o I 那么称 是 的一个聚点 (称为 S 的导集) 为闭区间 [0, 1]. 则 S 的聚点集合 S′ 下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定义2 定义2'由定义直接得到因为>0, U(;)nS0,定义2'定义2″取ε = 1, 三x, U(;1)NS;取82 = min[1/2,x -), 3x, e U(5;82)NS;取e, = min(1/n,x,-- - ), Ex, e U°(5;s,)nS;这样就得到一列(x,}C S.由ε,的取法,{x,两两互异,并且0<5-xn<8,≤一n由此 limx,=5.由极限的定义可知这是显然的定义2"→定义2数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义2 定义2′ 由定义直接得到. 定义2′ 定义2″ ; . 因为∀ε > 0, U S ( ; ) 0, ξ ε ≠ 1, 取ε 1 = 1 ∃ ∈ xU S ( ;1) ; ξ 取ε ξ 2 1 = min 1 2, , { x − } 2 2 ∃ ∈ xU S (; ) ; ξ ε min{1 , }, 取ε n = n x n−1 − ξ (; ) ; n n ∃ ∈ xU S ξ ε { } . ,{ } nn n 这样就得到一列 由 的取法 两两 xS x ⊂ ε 互异,并且 , 1 0 n < ξ − xn < ε n ≤ lim . n n x ξ →∞ 由此 = 定义2″→定义2 由极限的定义可知这是显然的. 聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定理7.2（聚点定理）实数轴上的任意有界无限点集必有聚点这里再次使用区间套定理来证明聚点定理，请务必要注意在区间套的构成中所建立的性质 (ii)证因为S为有界点集，所以存在正数M,使Sc[-M,M], 且记[a,b]=[-M, M]现将[aj,bi]等分为两个子区间[ai,cil，[Ci,bil,+b其中c =那么[α,cl,[cj,b]中至少有一2个区间含有S的无限多个点，数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理7.2（聚点定理） 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. 这里再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必 证 因为S为有界点集, 1 1 S MM a b MM ⊂ −[ , ], [ , ] [ , ]. 且记 = − 现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1], 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). 所以存在正数 M, 使 . 2 1 1 1 a b c + 其中 = 11 11 那么[ , ], [ , ] ac cb 中至少有一 个区间含有 S 的无限多个点. 聚点定理与有限覆盖定理