函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理第二讲拉格朗日定理及推论数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 拉格朗日定理及推论 第二讲
函数单调性的判别91拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理拉格朗日定理定理6.2（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足：(i)f(x)在闭区间[a, bl 上连续;(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导那么在开区间（a,b)内（至少）存在一点，使得F'(s) = f(b)-f(a)b-a数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.2（拉格朗日中值定理） 设函数 f (x) 满足： (i) f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f (x) 在开区间 (a, b) 内可导. 那么在开区间 (a ,b)内 ( 至少 ) 存在一点 ξ , 使得 () () ( ) . fb fa f b a ξ − ′ = − 罗尔定理与拉格朗日定理 拉格朗日定理
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性注 当 f(a)= f(b)时,拉格朗日定理就是罗尔定理可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例几何意义如右图，曲线yBy=f(x) 的两个端点 A,By= f(x)连线的斜率为Af(b)- f(a)---k.ABxb0HSab-a用平行推移的方法，曲线上至少在一点（,f()处的切线与 AB平行，其斜率率 f(é)也等于 kAB·数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 几何意义 () () . AB fb fa k b a − = − A B O x y a ξ b y fx = ( ) 用平行推移的方法,曲线上至少在一点 ( , ( )) ξ ξ f 连线的斜率为 y = f (x) 的两个端点 A, B 处的切线与 AB 平行, 如右图，曲线 f ′( ) ξ . AB 其斜率 也等于 k 罗尔定理与拉格朗日定理 注 当 fa fb () () , = 时 拉格朗日定理就是罗尔定理, 可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性设定理的证明f(b)- f(a)F(x)= f(x)x-a)-f(a)b-a可以验证F(x)满足罗尔定理的三个条件，所以(a,b),使 F'()=0, 即F'(5) = f(b)-f(a)yBb-ay= f(x)f(b)- f(a)(x-a)+f(a)一2b-a1A----F'(s) = f(b)-f(a)----Xb-ab&S0a数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理的证明 () () () () ( ) () fb fa Fx fx x a fa b a − = − − − − 可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件, ∃ξ ∈ (a ,b) , 使 F′(ξ ) = 0, () () ( ) . fb fa f b a ξ − ′ = − 所以 罗尔定理与拉格朗日定理 ， () () ( ) fb fa f b a ξ − ′ = − 设 A B O x y a ξ b y fx = ( ) () () ( ) () fb fa y x a fa b a − = − + − 即
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性拉格朗日中值定理的结论 F(s)=(b)-(a)b-a通常称为拉格朗日中值公式拉格朗日公式有几个等价的表示形式f(b)-f(a) = f'()(b-a), a<<bf(b)- f(a) = f'(a+(b-a)(b-a), 0 <θ<1.f(x+h)- f(x)= f'(x+0h)h, 0 <0<1.另外，拉格朗日公式对b<α仍然成立，此时是介于a与b之间的一个常数数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 fb fa f b a a b ( ) ( ) ( )( ), . − = − << ′ ξ ξ 拉格朗日公式有几个等价的表示形式： fb fa f a b a b a ( ) ( ) ( ( ))( ), 0 1. − = + − − << ′ θ θ f x h f x f x hh ( ) ( ) ( ) , 0 1. + − = + << ′ θ θ 另外，拉格朗日公式对b < a 仍然成立， 于a与b之间的一个常数. 此时ξ 是介 罗尔定理与拉格朗日定理 拉格朗日中值定理的结论 () () ( ) fb fa f b a ξ − ′ = − ， 通常称为拉格朗日中值公式