第七章数学分析s1关于实数集完备性的实数的完备性基本定理在第一章与第二章一、区间套定理中，我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理，致二、聚点定理与有限覆盖密性定理和柯西收敛准则：上述定理反映了实数的一种特性定理这种特性称为完备性.而有理数集是不具备这种性质的：在三、实数完备性基本定理本章中，将着重介绍与上述定之问的等价性理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石
中, 我们已经证明了实数集中 在第一章与第二章 一、区间套定理 的确界定理、单调有界定理,致 密性定理和柯西收敛准则. 上 述定理反映了实数的一种特性, 这种特性称为完备性. 而有理 数集是不具备这种性质的. 在 本章中, 将着重介绍与上述定 理的等价性定理及其应用.这些 定理是数学分析理论的基石. §1 关于实数集完备性的 基本定理 数学分析 第七章 实数的完备性 二、聚点定理与有限覆盖 定理 三、实数完备性基本定理 之间的等价性
实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理的等价性第一讲区间套定理数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理的等价性 区间套定理 第一讲 区间套定理
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性区间套定理定义1设闭区间列{a.,b.I满足如下条件：1. [an, b,]-[an+1, bn+il , n=1, 2, ",2. lim(b, -a,)= 0 ,n→80则称{[a,,b,为闭区间套,简称区间套定义1中的条件1实际上等价于条件ai≤a,≤...≤an≤...≤b,≤...≤b, ≤b,数学分析第七章实数的完备性福高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义1 n n 设闭区间列 满足如下条件 {[ , ]} a b : 1 1 1. [ , ] [ , ] , 1, 2, , nn n n ab a b n ⊃ = + + 2. lim( ) 0 , n n n b a →∞ − = {[ , ]} , . n n 则称 a b 为闭区间套 简称区间套 定义1 中的条件1 实际上等价于条件 1 2 2 1 . n n aa a b bb ≤≤≤≤≤≤≤≤ 区间套定理 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理
实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定理7.1（区间套定理）若{[a,,b,J是一个区间套,则存在唯一的实数，使 e[an, b,], n=l, 2,...,或者80{5] = O[an, bn].n=1[[Saa, ..anan+i...burb,....b,b.证 由定义1 的条件1 可知,数列(a,递增,有上界b1所以由单调有界定理，可知{α,}的极限存在设 lima,=，从而由定义1 的条件2 可得n-00数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理7.1（区间套定理） [ ] 12 1 n n aa aa + n n 1 21 b b bb + {[ , ]} , n n 若 a b 是一个区间套 [ , ], 1, 2, , n n ξ ∈ = ab n 或者 1 { } [ , ]. n n n ξ a b ∞ = = 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在. [[ ]] x ξ 则存在唯一的实数ξ , 使 有上界b1. 区间套定理 lim = , n n a ξ 设 →∞ 从而由定义1 的条件2 可得
实数完备性基本区间套定理61关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性limb, = lim(b, -a,)+ liman = 5.nn->00n-0n→>80因为{a递增，{b递减，所以an≤<bn,这样就证明了的存在性下面来证明唯一性.设也满足an ≤i ≤bn,那么b,a→0.即=,唯一性得证数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 lim n n b →∞ 因为 {an} 递增, {bn} 递减, , an ≤ ξ ≤ bn 设 ξ 1 也满足 , an ≤ ξ 1 ≤ bn 这样就证明了 ξ 的存在性. = ξ . 1 即ξ ξ = , . 唯一性得证 1 0. n n 那么 ξ ξ − ≤−→ b a 下面来证明唯一性. 区间套定理 所以 lim( ) lim nn n n n ba a →∞ →∞ = −+