例2 设函数f(x)在(-80,+o0)内连续，且f(x)>0J. tf(t)dt证明函数F(x)=在(0,+o)内为单调增加函数J. f(t)dtd证。 tf(t)dt = xf(x),J, f(t)dt = f(x),dr Jodrxf(x)J, f(t)dt-f(x)J tf(t)dtF'(x) =(J. (t)a)
证 x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x), x f t dt dx d 0 ( ) = f (x), ( ) 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x xf x f t dt f x tf t dt F x f t dt − = 0 0 2 ( ) ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) (0, ) . ( ) x x f x f x tf t dt F x f t dt − + = + 例 设函数 在 内连续，且 证明函数 在 内为单调增加函数
f(x)/" (x -t)f(t)dtF'(x) =(C. (t)dt): J f(t)dt >0,: f(x)>0, (x>0): (x-t)f(t)>0, :. f'(x-t)f(t)dt >0,:. F'(x)>0 (x>0).故F(x)在(0,+o)内为单调增加函数
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt (x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数
例3 设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明2x-[ f(t)dt =1在[0,1]上只有一个解证 令 F(x)=2x-[ f(t)dt -1, f(x)<1, :. F'(x)=2- f(x)>0,F(x)在[0,1]上为单调增加函数F(0)=-1<0,F(1)=1- f" f(t)dt = f'[1- f(t)]dt > 0,所以F(x)=0即原方程在[0,1]上只有一个解
证 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − − F x x f t dt x f (x) 1, F(x) = 2 − f (x) 0, F(0) = −1 0, = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt = − 1 0 [1 f (t)]dt 0, 令 0 3 ( ) [0,1] ( ) 1. 2 ( ) 1 [0,1] . x f x f x x f t dt − = 例 设函数 在 上连续，且 证明 在 上只有一个解 F x( ) [0,1] 在 上为单调增加函数 所以F x( ) 0 [0,1] . = 即原方程在 上只有一个解
当x≥0时，f(x)连续,且满足x(1+x) f(t)dt = x,求f(2).分析求f(2)，需先求出f(x).必须先化掉积分号，只要对所给积分方程两边求导即可解对所给积分方程两边关于x求导，得f[x (1 +x)}[x(1+x)}' = 1即 f[x(1+x)].(2x+3x) =1即f(2)=当x=1时，f(2)·5=1T
2 (1 ) 0 0 , ( ) , ( )d , (2). x x x f x f t t x f + = 当 时 连续 且满足 求 分析 求 必须先化掉 积分号, 只要对所给积分方程两边求导即可. 解 对所给积分方程两边关于x求导,得 . 5 1 当x = 1时, 即f (2) = f (2), 需先求出 f (x). 即 [ (1 )] (2 3 ) 2 2 f x + x x + x = 1 f (2) 5 = 1 [ (1 )] = 1 2 f [ (1 )] x + x 2 x + x
三、牛顿一莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则[f(x)dx= F(b)-F(a)证：:已知F(x)是f(x)的一个原函数，又：d(x)=』f(t)dt也是f(x)的一个原函数:. F(x)-@Φ(x) =Cxe[a,b]
定理 3（微积分基本公式） − = F x x C x a b ( ) ( ) [ , ] 证: 三、牛顿—莱布尼茨公式 ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) b a F x f x a b f x dx F b F a = − 如果 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则 已知F x f x ( ) ( ) 是 的一个原函数， ( ) ( ) ( ) x a x f t dt f x = 又 也是 的一个原函数