若x=a,取△x>0，则同理可证Φ(a)= f(a)若x=b,取△x<0，则同理可证Φ(b)= f(b)定理2（原函数存在定理）设函数f(x)在区间[a,b|上连续，则积分上限函数(x)=[f(t)dt就是f(x)在区间[a,b)上的一个原函数,定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系
定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系. ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) [ , ] x a f x a b x f t dt f x a b = 设函数 在区间 上连续，则积分上限函数 就是 在区间 上的一个原函数. x a x a f a , 0 ( ) ( ) + 若 = = 取 ，则同理可证 ； x b x b f b , 0 ( ) ( ). − 若 = = 取 ，则同理可证
例：求下列函数的导数[,tf(t)dt, f,xf(t)dt , f'(x-t)f(t)dt(a)=1 (+()drdx如果f(t)连续，a(x)，b(x)可导,补充：则 F(x)=[D(x)f(t)dt的导数为P()- s u- )()bux
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b x a f t a x b x F x f t dt = 如果 连续， ， 可导， 则 的导数为 d ( ) d x a xf t dt x d ( ( ) ) d x a x f t dt x = 补充: ( ) 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) b x a d F x f t dt f b x b x dx = = ( ) , ( ) , ( ) ( ) x x x a a a tf t dt xf t dt x t f t dt − 例：求下列函数的导数 ( ) ( ) x a = + f t dt xf x
证: 令u = b(x),则F(x)= Jb(") f(t)dt =[f" f(t)dtl=b(x). F(x)= ' ()da.- b(x)dx= f (u)b'(x) = f[b(x)]b'(x)F (x)= = Jan ()dt =-[a(x)la(x)类似的yF(x)=() f(0)dt= [b(x)]b(x)- [a(x)]a(x)drJaF;(x)=(J, + J ) (n)dt提示：
提示： ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) c b x a x c F x f t dt = + ( ) 3 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) b x a x d F x f t dt f b x b x f a x a x dx = = − 2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) b a x d F x f t dt f a x a x dx = = − 类似的 1 ( ) ( ) ( ) u a d d F x f t dt b x du dx = = = f u b x f b x b x ( ) ( ) ( ) ( ) 证： ( ) 1 ( ) ( ), ( ) ( ) [ ( ) ] b x u u b x a a u b x F x f t dt f t dt 令 = = = 则 =
一edtJcos.x例1 求limx-0分析：这是型不定式，应用洛必达法则dd3ecos.x解dt,dt =Pdr JidxJcosx-Cos2=-e-cos'x=sinx.e.(cosx)-cos"xdtsinx.eJcosx= limlim2xX-0x-→>02e
例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 解 − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则
rarctan(1+ t)dtjdu练习求极限limx-0x(1- cosx)Carctan(1 + t)dt|duxJo解原式=2lim-cosx2t3x->0Cx2arctan(1+t)dt=2lim03x2x-02arctan(1+x) .2xlim3x-02x2元元634
练习 解 求极限 (1 cos ) [ arctan(1 )d ]d lim 0 0 0 2 x x t t u x u x − + → 0 0 原式 = 3 0 0 0 [ arctan(1 )d ]d 2lim 2 x t t u x u x + → 0 2lim → = x 2 1 cos ~ 2 x − x 2 0 arctan(1 )d x + t t 2 3x 0 lim 3 2 → = x 2x arctan(1+ ) 2 x 2x 3 4 6 2 = = 0 0