例2. 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导, 且f(1)=0,证明至少存在一点 ε(0,1),使2f(5)f()=-S证：问题转化为证≤f'()+2f()=0设辅助函数p(x)= x2 f(x)，故至显然(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件,少存在一点(0,1),使p'()=2 f()+≤f'()=0f'()=- 2f()即有HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例2. 设 f (x) 在 [0,1] 内可导, 且 f (1) = 0 , 证明至少存在一点 f () = − (0,1) , 使 上连续, 在 (0,1) 2 f ( ) 证: 问题转化为证 f () + 2 f () = 0. 设辅助函数 ( ) ( ) 2 x = x f x 显然 (x) 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 (0,1) , 使 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 = f + f = 即有 f () = − 2 f ( ) 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且a+bf'(n)0<a<b,试证存在 三,nE(a,b),使f()=2nf'()(b-a)_f'(n)f'()f(n)即要证证：欲证b2-α22n2na+b，故有因f（x）在「α，b1上满足拉氏中值定理条件,1f(b)-f(a)= f'()(b-a), =(a,b)又因f(x)及x-在[a,bl上满足柯西定理条件，故有f(b)- f(a) - f'(n)ne(a, b)b? -α?2na+bf'(n),将①代入②，化简得f（）5,ne(a,b)2nHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例3. 设 f (x)在[a,b]上连续，在(a，b)内可导, 且 0 a b , 试证存在 ( ). 2 ( ) f a b f + ,(a,b) , 使 = 证: 欲证 , 2 ( ) ( ) f a b f = + 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 f (b) − f (a) = f ()(b − a), (a, b) ( ) [ , ] , 又因f x 及x 2 在 a b 上满足柯西定理条件 , ( , ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 a b f b a f b f a = − − 将①代入② , 化简得 故有 ① ② ( ), 2 ( ) f a b f + = ,(a,b) 即要证 . 2 ( )( ) ( ) 2 2 f b a f b a = − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设实数 ao,ai，,an满足下述等式nn+1证明方程ao +ajx＋+anx"=0 在（0，1)内至少有-个实根证:令 F'(x)=αo +ajx+.….+anx",则可设.n+lF(x) = aox +n+l显然,F(x)在[0,1]上连续,在(O,1)内可导，且 F(O)=F(I)=0,由罗尔定理知存在一点 E(O,1),使 F'()=0,即 ao +ajx+.+anxn=0在O,D内至少有一个实根2HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例4. 设实数 a0 , a1 , ,an 满足下述等式 0 2 1 1 0 = + + + + n a a a n 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 0 0 + 1 + + = n n a a x a x 证: 令 ( ) , 0 1 n n F x = a + a x ++ a x 则可设 1 2 1 0 2 1 ( ) + + = + + + n n x n a x a F x a x 显然, F(x)在[0,1]上连续, 且 F(0) = 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 F() = 0, 即 0 0 1 . 0 + 1 + + = 在（ ，）内至少有一个实根 n n a a x a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在(0,1)内可导, F(1) = 0
例5.设函数f(x)在[0,3] 上连续,,在(0,3)内可导,且f(O)+f(1)+ f(2)=3, f(3)=1, 试证必存在 E(0,3), 使f(F)=0. (03考研)，且在证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,故[0,2]上有最大值M与最小值 m.f (0)+ f(1)+ f(2)≤Mm<m≤ f(O), f(1), f(2)≤M3至少存在一点 c E[0,2],使由介值定理f(0)+ f(1)+ f(2)f()8+于()+f(2) =1, f(3)=1分析:所给条件可写为：f(c)=)=1,县f(x)在[c,3]上连纤在(cr包内可导,相到由罗尔定黏找松荐在：(c,3)2(0,3),使于(=0.HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) =1, (0,3), 使 f () = 0. 分析: 所给条件可写为 1, (3) 1 3 (0) (1) (2) = = + + f f f f (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 m f (0), f (1), f (2) M m M f f f + + 3 (0) (1) (2) 由介值定理, 至少存在一点 c[0,2], 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = =1 f (c) = f (3) =1,且 f (x)在[c,3]上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3), 使 f () = 0