《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-5 第五节 隐函数的求导公式（implicit function）

Ozc'ybazayazCX将再一次对求偏导数，得ax1azc'xa?zay222eLZ.axdya'zc*xyab23注对复合函数求高阶偏导数时，需注意导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时仍需用复合函数求导的方法

将 =   x z a z c x 2 2 − =    x y z 2 2 2 a c x − 2 2 2 2 2 [ ( )] a z b z c y c −x  − = − 2 2 3 4 a b z c xy = − =   y z b z c y 2 2 − 注 再一次对y求偏导数,得 对复合函数求高阶偏导数时,需注意: 导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时, 仍需用复合函数求导的方法. 2 z − y z  

设方程练习呈y+yz+=确定了隐函数a'z a'zz= z(x,),试求ax?'ay?分析在某函数(或方程)表达式中,将任意两个自变量互换后,仍是原来的函数(或方程)，称函数(或方程)关于自变量对称,用对称性可简化计算解将方程两边对x求偏导,得azOz=0y+y+z+xaxaxazy+zaxx+y

设方程 xy + yz + zx = 1 确定了隐函数 , . 2 2 2 2 y z x z     试求 分析 在某函数(或方程)表达式中, 自变量互换后,仍是原来的函数(或方程), 称函数 (或方程) 用对称性可简化计算. 解 将方程两边对x求偏导,得 关于自变量对称, y  x y y z x z + + = −   z = z(x, y), 将任意两个 + y x z    + z + x x z    = 0

设方程xy+yz+x=1确定了隐函数a'z a'zz=z(x,J),试求'v?Ozy+zaxx+y再将上式两边对x求偏导,得az(x+ y)-(y+z)·1a2z2(y + z)axax?(x+y)2(x+ y)2由x,y的对称性知，a?z2(x + z)Qy2?(x+ y)

再将上式两边对x求偏导, x y y z x z + + = −   得 =   2 2 x z 2 ( ) 2( ) x y y z + + = 由x, y的对称性知, =   2 2 y z 2 ( ) 2( ) x y x z + + 设方程 xy + yz + zx = 1 确定了隐函数 , . 2 2 2 2 y z x z     z = z(x, y),试求 2 (x + y) − x z   (x + y)− ( y + z)1

女 F(一,)=0,其中F的偏导数连续,例3设有隐函数ZZOz z求用复合函数求导法ax' ay解 法一 由公式. 令 G(x,y,z)=F-71aGaGF·z-+0OzG0+F1axayaxGaGF·(-xz-2) +F, ·(-yz-2)Oz.GOzzF2zFOzGXG,axayCxF+yFxF +yF2

例3 设有隐函数 ( , ) = 0 ,其中F的偏导数连续, z y z x F 求 , x z   . y z   解 令 ( , , ) ( , ) z y z x G x y z = F =   x G =   y G =   z G = − =   z x G G x z = − =   z y G G y z 用复合函数求导法 ( ) 2 2 − + F  − yz 法一 由公式. z x G G x z = −   F1 −1 z F2 −1 z ( ) 2 1 − F  − xz , 1 2 1 xF yF zF + 1 2 2 xF yF zF + + 0, 0 +

Oz OzF(一,)=0,求法二利用全微分。axay将隐函数方程两边取全微分，得X此法步骤清楚Fd:04zdy - ydzzdx - xdz=0即F2ZzFdx + zF2dy故dz=xF +yF2azzFOz.zF从而axxE+yF2'Qy xF+yF2

将隐函数方程两边取全微分,       z x F1d 即 F1 故 1 2 1d 2d d xF yF zF x zF y z + + = 从而 , 1 2 1 xF yF zF x z + =   此法步骤清楚 法二 利用全微分. . 1 2 2 xF yF zF y z + =   + F2 ( , ) = 0, z y z x F 求 , x z   . y z         + z y F2d = 0 2 d d z z x − x z  2 d d z z y − y z  = 0 得