3.2洛必达法则0型未定式01型未定式和“002其他类型的未定式
01 02 其他类型的未定式 “ 0 0 ” 型未定式和“ ∞ ∞ ” 型未定式 3.2 洛必达法则
OAP问题引入观察下列极限形式与结果：80011-l1"0"80+2+20limlimlim0b0x-0 xx-=00 x20+ xx-→00x型未定式x2 10=limlimx=1x2+x-2X=00x3+22=lim=X-0x313000--
2 问题引入 观察下列极限形式与结果： " 0 0 " 0 2 3 ∞ ∞ 1 0 " ∞ ∞ " 型未定式 , ∞ ∞
?洛必达（法国，1661-1704)15岁时就解决了帕斯卡提出的摆线难题洛必达法则来源于《无究穷小分析》（1696年）必达，G.-F.-A.de《无穷小分析》一一微积分学方面最早的教科书
3 洛必达法则来源于《无穷小分析》（1696年） 15岁时就解决了帕斯卡提出的摆线难题 《无穷小分析》——微积分学方面最早的教科书 洛必达 (法国,1661–1704)
000OAO型未定式型未定式和0000洛必达法则定理3.4” 型未定式设（0在的某去心邻域内有定义，若(1) lim f(x) = 0 ,lim g(x)= 0:XRXXRX,(2)f(x)、g(x)在xo的某去心邻域内可导，且g'(x)± 0;f'(x)存在（或无穷大），(3)limx-xo g'(x)fdx)f(x)则lim-limgdx)xRXog(x)xRX
4 设ᵆ(ᵆ)、ᵆ(ᵆ)在ᵆ0的某去心邻域内有定义，若 定理3.4 “ 0 0 ” 型未定式 一、 “ 0 0 ” 型未定式和“ ∞ ∞ ” 型未定式
OAO定义辅助函数定理3.4证明(f(x),g(x),x+xo，x±xofi(x) :91(x)00x=xox=xo在xo的去心邻域内任取一点x，在以xo与x为端点的区间上，fi(x)与g1(x)满足柯西中值定理的条件，则有f'()f(x)f(x) -f(xo)（在以x.与x之间）g'(5)g(x)g(x) - g(xo)f(x)f'(x)f'(3)f'(x)故limlim当x→x时，5→xo,limlimx-xo g(x)x-xo g'(x)6-x0 g'(3)x-xo g(x)
5 定理3.4证明 定义辅助函数