高等数学（上册）（慕课版）第四章不定积分第三讲第二换元积分法主讲教师人民邮电出版社RISSAHTOTRES
主讲教师 | 第三讲 第二换元积分法 高等数学（上册）（慕课版） 第四章 不定积分
OOA第三讲第二换元积分法设x=y(t)是单调的可导函数，且yt)10,定理4.4又设fv()t)的一个原函数为F(t)，则of(x)dx=F [v -(x)] +C,该公式称为第二换元公式一般地，求积分of(x)dx时，如果设x=y（)，且x=y（)满足定理4.4的条件，根据第二换元公式求积分的过程如下：x=y (0) O d-F0)+ ()+.of(x)dx
第三讲 第二换元积分法 2 定理4.4
?第三讲第二换元积分法注1.换元积分法在进行换元后，都需要还原为原变量的函数2.第二换元积分法经常用于被积函数中出现根式，且无法用直接积分法和第一换元法计算的题目
第三讲 第二换元积分法 3 注
OOAO第三讲第二换元积分法求oVa2 - x°dx (a>0).例令x=asin (-t1),则dx=αcosid ,于是有o解OI + cos 2toVa-xdx=oacos xacosid=a'ocos'I dt=a'odt2sin2ta(t + sinI cost)+C.42为了将上式结果还原为原来的变量，引入一辅助直角三角形，如图所示：x1因为x=asint，所以sint=costf = arcsinaaaaxxx所以 Vα2-xdxarcsin22aJa-x
第三讲 第二换元积分法 4 例 1 解 a a 2 - x 2 t x
A第三讲 第二换元积分法列dx (x > 0)O)，则dx=acosqdq，于是有=asing(-解法一福2acosqxacosq dq=2ocot'q xcscq ddxa'sin'qd(cotq)=cot+(3a0.C.+(-r一3a3axx0
第三讲 第二换元积分法 5 例 2 解法一 a a 2 - x 2 x