广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多元函数微分学 17.2 多元复合函数的求导法则

第二节 第十七章 多元复合函数的求导法则 一元复合函数y=f(u),u=(x 求导法 nul dy dy du dx du dx 微分法则dy=f(u)dve=f(l)(x)dx 本节内容: 多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第二节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第十七章

多元复合函数求导的链式法则 定理若函数=(1),v=v(1)在点t可导,z=f(2y) 在点(,y)处偏导连续,则复合函数z=f(q(t),v(t) 在点t可导,且有链式法则 dz az du az dy dt au dt ay dt 证:设取增量4,则相应中间变量 有增量4u,△ν, △ △+A+0(p)(p=△)2+(△v)2) nu HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v

△20△,OzA",o(p)(P=√(△)2+(△) △tOu△tov△t△t 令△t→>0,则有△M→>0,△→>0 △ld △dv → △ t dt At dt O(P)0(p) +( →>0 △t △t △ (4时根式前加”号) dz az du az dy dt ou dt ov d/(全导数公式) HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束

则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

说明:若定理中f(u,1)在点(,)偏导数连续减弱为 偏导数存在,则定理结论不一定成立 例如:z=f(l2y) l+p,3,l2+y2≠0 +p2=0 易知: On/(00=f(0=0,c Cv(0.0) f(0,0)=0 但复合函数z=f(t,0) dz 1 az du az dv ≠ =0·1+0.1=0 dt 2 au dt av dt HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束

说明: 若定理中 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立

推广:设下面所涉及的函数都可微 中间变量多于两个的情形例如,z=f(l,y,) =((1),v=v(t) w=ot dz az du x az dy az dw dt au dt ay dt ow dt =fo+f2y+ f3o 2)中间变量是多元函数的情形例如, z=f(u,v), u=o(x,y), v=y(x, y) az az au az av =f10+f2v ax au ax ay a azaz au az dv fio,+5'vsx yx y ay y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t)