§3瑕积分的性质与收敛判别 教学内容: 1.瑕积分的性质 2.瑕积分收敛的判别 说明:()本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容; (2)以下只给出[f(x)(a.瑕点)性质及收敛判别, 其它几种情形类似可得。 瑕积分的性质 设F()f(x)h,则」f(x)d女收敛与否取决于F()当n→a时 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 1.瑕积分收敛的柯西准则
§3 瑕积分的性质与收敛判别 教学内容： 1. 瑕积分的性质 2. 瑕积分收敛的判别 其它几种情形类似可得。 以下只给出 为瑕点）的性质及收敛判别， 说明： 本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容； b a (2) f (x)dx(a (1) 一. 瑕积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设F u = f x dx，则 f x dx收敛与否取决于F u 当u → a + 时 b a b u ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 瑕积分收敛的柯西准则
定理5:瑕积分(xhx(a为瑕点收敛的充要条件是:任给>0, 存在δ>0,只要u1、l2∈(an,a+6),便有 ∫()=k6 2.瑕积分的性质 性质1:设函数与的瑕点同为x=a若J,(x)与,(对)都收敛, k、k为任意常数,则k(x)+k1(x也收敛,且 Ak/(x)+k2(x)=人J(x)+k2。1(x 性质2:设函数∫f的瑕点为x=a,c∈(a,b)为任一常数。则瑕积分 ∫(xk与J(x)同敛态,且有 CA(x)dx=l f(x dx+lf(x)dx (2) 其中右边第二项是定积分
− = + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( 0 1 2 u u b u b u b a f x dx f x dx f x dx u u a a f x dx a 存在 ，只要 、 ，便有 定理11.5： 瑕积分 为瑕点）收敛的充要条件是：任给 ， 2. 瑕积分的性质 性质1： + = + + = b a b a b a b a b a b a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k k k f x k f x dx f f x a f x dx f x dx [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] , ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 、 为任意常数，则 也收敛，且 设函数 与 的瑕点同为 若 与 都收敛， 性质2： 其中右边第二项是定积分。 与 同敛态，且有 设函数 的瑕点为 为任一常数。则瑕积分 = + = b a b c c a c a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a c a b ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) , ( , )
3.瑕积分的绝对收敛与条件收敛 设函数的瑕点为x=a若瑕积分(x)收敛,则称 瑕积分门/()hk绝对收敛:若1x)发散,而(xk收敛 则称瑕积分(x条件收敛。 性质3:设函数的瑕点为x=a,f在(a,b的任一内闭区间[,b]上可积。 则当∫(x)收敛时,∫/(x)d亦必收敛,且有 f(x< If(x)dx (3) 说明:性质3指出:绝对收敛的瑕积分必收敛,但反之未必。 (今后举例说明)
3. 瑕积分的绝对收敛与条件收敛 设函数 的瑕点为 = 若瑕积分 收敛，则称 b a f x a, f (x) dx 绝对收敛； 若 发散，而 收敛， b a b a f (x) dx f (x)dx 条件收敛。 b a 瑕积分 f (x) dx b a 则称瑕积分 f (x) dx 性质3： = b a b a b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f a b u b ( ) ( ) (3) ( ) ( ) , ( , ] [ , ] 则当 收敛时， 亦必收敛，且有 设函数 的瑕点为 在 的任一内闭区间 上可积。 说明：性质3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）
瑕积分敛散性的判别 条件:当(x)≥0时 1.瑕积分收敛的比较判别法 (1)不等式形式 定理16:设定义在(a,b上的两个非负函数和g瑕点均为x=a 都在任何区间[u,b]c(a,b]上可积,且满足 f(x)≤g(x),x∈(a,b] 则(①当8(x)收敛时,f(x)必收敛; (2)当f(x)x发散时,g(x)d发散 定理指出:大收敛则小收敛;小发散则大发散。(与级数类似)
二. 瑕积分敛散性的判别 条件：当f (x) 0时 1. 瑕积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.6： （ ）当 发散时， 必发散。 则（）当 收敛时， 必收敛； ， 都在任何区间 上可积，且满足 设定义在 上的两个非负函数 和 瑕点均为 = b a b a b a b a f x dx g x dx g x dx f x dx f x g x x a b u b a b a b f g x a 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ] [ , ] ( , ] ( , ] , 定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）
(2)极限形式 推论1:设函数和g瑕点同为x=a,f(x)≥0,8(x)>0,且它们都在 任何区间[,bc(a6上可积,若有linf(x) C,则有 x→)a g(x (1)当0<c<+时,f(x)与g(x)d同敛态; (2)当c=O时,由g(x)收敛可推知f(x)h收敛 (3)当c=+时,由g(x)发散可推知(x)d发散。 注意:1.推论中,当c=0时只能判别收敛;当c为正无穷大时 只能判别发散; 2用此推论时要找分母的gx)且8(x)b的敛散性要知道 3找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
（2）极限形式 推论1： 任何区间 上可积，若有 则有： 设函数 和 瑕点同为 且它们都在 ＋ , ( ) ( ) [ , ] ( , ] lim , ( ) 0, ( ) 0, c g x f x u b a b f g x a f x g x x a = = → （ ）当 时，由 发散可推知 也发散。 （ ）当 时，由 收敛可推知 也收敛； （）当 时， 与 同敛态； = + = + b a b a b a b a b a b a c g x dx f x dx c g x dx f x dx c f x dx g x dx 3 ( ) ( ) 2 0 ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时 只能判别发散； 2.用此推论时要找分母的g(x)且 的敛散性要知道； b a g(x)dx 3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数