第 第十八章 隐菡数 、一个方程所确定的隐函数 及其导数 方程组所确定的隐函数组 及其导数 鲁 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
第一节 第十八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数
本节讨论 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如,方程x2+y+C=0 当C<0时,能确定隐函数; 当C>0时,不能确定隐函数 2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 0 2 x y C 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(x0,y0)某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数 ②2F(x0,y0)=0 Fp(x0,y0)≠0 则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件y0=f(x0),并有连续 导数 d_d F (隐函数求导公式 x F 定理证明从略,仅就求导公式推导如下: HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0 0 F(x, y) P x y ( , ) 0; F x0 y0 则方程 0 F(x, y) 0在点x 单值连续函数 y = f (x) , ( ), 0 0 y f x 并有连续 y x F F x y d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数,则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 af aFd y ax ovx 在(x,y)的某邻域内Fn≠0 d dx F HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
F(x, f (x)) 0 两边对 x 求导 0 d d x y y F x F y x F F x y d d 0 Fy 设 y f (x) 为方程 F(x, y) 0 所确定的隐函数 , 在( , ) 0 0 x y 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,则还有 二阶导数 ydFry.a Fr dy y dx 2 ax F ay F dx x FrrFy-eurer frf- fff F F FxxFy-2FxyFx Fy+ Fuy Fx HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F F F 3 2 2 2 y xx y x y x y y y x F F F F F F F F y x F F ( ) y x F F y ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F 二阶导数 : ( ) y x F F x x y x x y d d 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束