广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）18.2 隐函数组

第二节 第十八章 隐菡数 、一个方程所确定的隐函数 及其导数 方程组所确定的隐函数组 及其导数 鲁 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

第二节 第十八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数

方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即 F(x,y,l4,v)=0 u=u(x y G(,y,u,v)=0 lv=v(x, y) 由F、G的偏导数组成的行列式 J (F,G) d(u, v)Gu Gv 称为F、G的雅可比( Jacobi)行列式 HIGH EDUCATION PRESS 08 雅可比目录上页下页返回结束

二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.      ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v      ( , ) ( , ) v v x y u u x y 由 F、G 的偏导数组成的行列式 u v u v G G F F u v F G J     ( , ) ( , ) 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束

定理3.设函数F(x,y,u,v),G(x,y,,)满足 ①在点P(x2y0:0230)的某一邻域内具有连续偏 导数; 2 F(xo, yo, uo, vo)=0, G(o, yo, o,vo)=0 ③.n_O(F,G ≠0 p du, v)IP 则方程组F(x,y,uv)=0,G(x,y,l2)=0在点(x0,y) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件40=(x0,y0), vo=vxo,y0)的单值连续函数u=l(x,y),v=v(x,y) 且有偏导数公式: HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

定理3.( , , , ) 0, F x0 y0 u0 v0  的某一邻域内具有连续偏 设函数 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v F(x, y,u,v), G(x, y,u,v) 则方程组 F(x, y, u, v)  0, G (x, y, u,v)  0 ③ ( , ) 0 0 在点 x y 的单值连续函数 u  u(x, y), v  v(x, y), 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 0 ( , ) ( , )     u v P F G P J ( , , , ) 0; G x0 y0 u0 v0  导数； ( , ), 0 0 0 u  u x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 0 0 0 v  v x y

Ou 1 a(F,G) FF ax Ja(x, v) (P34-P35) G. G Ou 1a(F,G) F.F ay J O(, v) Fu FvIGy G Ov 1a(F,G) fF ax a(u, x) E FyGuGx u 定理证明略 1a(F,G) 仅推导偏导 数公式如下:J0(2y F HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

( , ) 1 ( , ) x v F G x J u       ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u       ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v       ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v      定理证明略  . 仅推导偏导 数公式如下： v v u v u v G F G G F F 1   v v u v u v G F G G F F 1   u u u v u v G F G G F F 1   u u u v u v G F G G F F 1   (P34-P35) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x G F y y G F x x G F y y G F

F(x, y,u,v)=0 Ju=u(x, y) 设方程组 有隐函数组 IG(x,y,u,v=0 lv=v(x, y) F(x,y(x,y),v(x,y)≡0 lG(x, y,u(x,y),v(,y)=0 F.+ +f =0 两边对x求导得 G+g.+g 0 x 这是关于2m,D的线性方程组,在点P的某邻域内 ax ax 系数行列式=F1≠0,故得 HIGH EDUCATION PRESS 08 公式目录上页下页返回结束

     ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 G x y u x y v x y F x y u x y v x y 这是关于 , 的线性方程组, x v x u          ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 , ( , ) ( , )      v v x y u u x y 设方程组   0, u v u v G G F F J 在点P 的某邻域内    x u    x v    x u    x v    Fx  Fu  Fv  0 Gx Gu  Gv  0 公式 目录 上页 下页 返回 结束 系数行列式 故得