生第一节幂级数 王P二幂级数的收敛区间 二幂级数的分析性质 三幂级数的运算 ·四小结 上或
第一节 幂级数 • 一 幂级数的收敛区间 • 二 幂级数的分析性质 • 三 幂级数的运算 • 四 小结
王一、幂级数及其收敛区间 1定义:形如∑nx-x)的级数称为级数 H=0 当xn=0时,∑anx",其中an为幂级数系数 H=0 2.收敛性: 例如级数∑x"=1+x+x2+…, 当x<l时,收敛;当x≥l时,发散; 收敛域-1发散域(1,+ 上圆
一、幂级数及其收敛区间 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);
定理1(Abe定理) 如果级数∑anx"在x=x0(x0≠0)处收敛,则 n=0 它在满足不等式x<x0的一切处绝对收敛; 上如果级数∑ax"在x=x处发散则它在满足 H=0 不等式x>x0的一切处发散 王证明(1):∑ax"收敛,:imax"=0 n=0 上或
定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x
彐M,使得anx≤M(n=0,2,) n n nx n .x= Xo Xo n-0 ≤M 0 n oo 当<时,等比级数∑M收敛, 0 H=0 ∑anx"收敛,即级数∑anx收敛 n=0 H=0 上或
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x
(2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x1>x0使级数收敛, 牛由结论则级数当x=x时应收敛 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域_R0R发散区域 上或
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域