第四章函数的连续性 §1连续性概念 教学内容: 1连续性概念的引入 2连续的几个等价定义 3间断点的定义以及分类 教学重点:函数在一点连续的概念 教学难点:间断点的分类 问题的提出: (1)自然界中有许多现象,如气温的变化,河水的流动,植物的生长等 等,都是连续地变化着的这种现象在函数关系上的反应就是函数的连 续性 (2)直观上来说,连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。(如图1)
第四章 函数的连续性 § 1 连续性概念 教学内容： 1.连续性概念的引入 2.连续的几个等价定义 3.间断点的定义以及分类 教学重点：函数在一点连续的概念 教学难点：间断点的分类 问题的提出： （1）自然界中有许多现象,如气温的变化，河水的流动，植物的生长等 等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连 续性. （2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）
A O 图1 函数在一点的连续性 定义的引入 先回顾一下函数在x0点的极限mf(x)=A,定义中要求f(x)在 x→>x0 xo的某个空心邻域内有定义,即f(x)在x0有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里f(x0)可以有三种情况:
O x y y = f (x) x0 图1 一. 函数在一点的连续性 1．定义的引入 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A， x x = → lim ( ) 0 定义中要求 f (x) 在 0 x 的某个空心邻域内有定义，即 f (x) 在 0 x 有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况： A ( ) 0 f x
()f(x)无定义,比如上章讲过的特殊极限nSm(x-x0)=1(图2) x-o x-x x≠x (2)f(x0)≠A,比如f(x)= x+l x=x ,imf(x)=x0≠f(x)(图3) x→x (3)f(x)=A,(图1) 0 y=f( y=f( A 图2 图3 第3种情况与前两种情况不同,要求∫(x)在x。有定义且极限等(x0), 我们称这种情况为f(x)在x0处连续
(1) ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 = − − → x x x x x x （图2） (2) f (x0 ) A， 比如 ， + = = 0 0 1 ( ) x x x x x x f x lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x = → （图3） (3) f (x0 ) = A， (图1） x0 y = f (x) O x y 图2 O x y x0 ( ) 0 f x y = f (x) 图3 A 第3种情况与前两种情况不同，要求 f (x) 在 0 x 有定义且极限等于 f (x0 )， 我们称这种情况为 f (x)在 0 x 处连续
2.f(x)在x0处连续的定义 定义1:设函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义,若 lim f(x)=f(o) x-o 则称函数f(x)在x0点连续。 例如函数f(x)=2x+1在点x=2连续,因为 lmf(x)=lm(2x+1)=5=f(2 又如函数(x)=xx20在x=0处连续。因为 x=0 imf(x)= lim x sin-=0=f(0)(无穷小乘以有界量仍为无穷小) x→ 3.等价定义 先引入增量的定义:记△x=x-x,称为自变量x(在点x)的增量
2. f (x) 在 x0 处连续的定义 定义1：设函数 f (x) 在 x0 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （1） 则称函数 f (x) 在 x0 点连续。 lim ( ) lim (2 1) 5 (2) ( ) 2 1 2 2 2 f x x f f x x x x x = + = = = + = → → 例如函数 在点 连续，因为 无穷小乘以有界量仍为无穷小） 又如函数 在 处连续。因为 0 (0) ( 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 1 sin ( ) 0 0 f x f x x x x x x x f x x x = = = = = = → → 3．等价定义 先引入增量的定义：记 x = x − x0 ,称为 自变量 x ( ) 0 在点x 的增量
或改变量y=f(x)-f(x0)=f(xo+△x)-f(x)=y-y 称为函数y(在点x0)的增量或改变量。要说明的是增量Δx、4y 可以是正的,也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 f(x+△x)y=f(x) √f(xo xox+△x 图4 利用增量定义得 等价定义1:设函数f(x)在x的某邻域内有定义,若mAy=0,则称 函数f(x)在xo点连续
或改变量； 0 0 0 0 y = f (x) − f (x ) = f (x + x) − f (x ) = y − y 称为函数 ) 0 y（在点x 的增量或改变量。要说明的是增量 x、y 可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 x0 x + x 0 ( ) 0 f x x y y = f (x) O x y ( ) 0 f x + x 图4 利用增量定义得 等价定义1：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若 lim 0，则称 0 = → y x 函数 f (x) 在 x0 点连续