第十一章反常积分 §1反常积分概念 教学内容: 1.反常积分概念的引入 2.无穷积分的定义 3.瑕积分的定义 教学重点:无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分 教学难点:反常积分概念的引入 问题的提出 定积分有两个基本的限制:积分区间是有限区间;函数为有界函数, 但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分
第十一章 反 常 积 分 § 1 反常积分概念 教学内容： 1. 反常积分概念的引入 2. 无穷积分的定义 3. 瑕积分的定义 教学重点：无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分 教学难点：反常积分概念的引入 一. 问题的提出 定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数, 但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分
例1:(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克 服地球引力无限远离地球,试问初速度至少要多大? 解:设地球半径为R,火箭质量为m,初速度为地面上的重力加速度为g。 则火箭在距地心x(≥R)处所受的引力为 mgR 2(万有引力定理) x 从而火箭从地面上升到离地心r(>R处需作的功为 mgr dx=mgRR r R 火箭要无限远离地球,意味着r→+∞,此时需作的功为上式右边的极限mgR, 也就把上式写为 +oo mgR dx=lm mgR R r→+ R 2g1 最后由机械能守恒定律得m1b=m8R 把各数值代入可求得结果
例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克 服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？ 万有引力定理） 则火箭在距地心 处所受的引力为 解：设地球半径为 ，火箭质量为 ，初速度为 地面上的重力加速度为 。 ( ( ) , 2 0 x mgR F x R R m v g = 从而火箭从地面上升到离地心r(>R)处需作的功为 = − r R R r dx mgR x mgR ) 1 1 ( 2 2 也就把上式写为 火箭要无限远离地球，意味着r → +，此时需作的功为上式右边的极限mgR， 最后由机械能守恒定律得 mgR R r dx mgR x mgR R r = − = + →+ ) 1 1 lim ( 2 2 mv = mgR 2 0 2 1 把各数值代入可求得结果
例2:圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间? 解:从物理学知道,当桶内水位高度为h-x时,水从孔中流出的速度为 v=√2g(h-x)(其中g为重力加速度) 设在很小一段时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 tR dx=viraat 从而有 R dx,x∈[0,h] g(h-x R 所以流完一桶水所需时间可写为“积分”t dx r2√2g(h-x 但是因为这里的被积函数是[0,h)上的无界函数,故 R 2 R 2hR dx= lim g vg
例2：圆柱形桶的内壁高为h , 内半径为 R ，桶底有一半径为 r 的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x 时，水从孔中流出的速度为 v = 2g(h − x) (其中g为重力加速度） 设在很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 , [ 0, ] 2 ( ) 2 2 2 2 dx x h r g h x R dt R dx v r dt − = = 从而有 所以流完一桶水所需时间可写为“积分” − = h dx r g h x R t 0 2 2 2 ( ) 但是因为这里的被积函数是[ 0 , h )上的无界函数，故 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 lim 2 ( ) lim = − − = − = → − → − r R g h h h u r R g dx r g h x R t u h u u h
从上面的例题我们知道,通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及 无界函数的“积分” 二.无穷区间上的反常积分 1定义 无穷区间有三种,分别给出其定义 (1)[a,+∞)上 定义1:设f(x)在[a,+)上有定义,对任何2a,f(x)在[a,1l可积, 若存在极限 lim f(x)dx=J →)+0Ja 则称J为函数f(x)在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 +∞ 并称∫”f(x女收敛。如果极限(1)不存在,称∫”(x女发散
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及 无界函数的“积分”。 二. 无穷区间上的反常积分 1.定义 无穷区间有三种，分别给出其定义： (1) [a,+ ) 上 定义1： 则称 为函数 在 上的 若存在极限 设 在 上有定义，对任何 ， 在 上可积， ( ) [ , ) lim ( ) (1) ( ) [ , ) ( ) [ , ] + = + →+ J f x a f x dx J f x a u a f x a u u u a 无穷限反常积分（简称无穷积分）,记为 + = a J f (x)dx + a 并称 f (x)dx 收敛。如果极限（1）不存在， + a 称 f (x)dx 发散
注意:(1)从本质上说,当无穷积分「(x)收敛时它是一个数(极限值); a i无穷积分∫。(x)发散时它只是一个记号 (2)。f(x)敛的几何意义是:若f(x)在[a,+)上为非负连续函数, 则其值就是介于曲线y=f(x),直线x=a以及x轴之间那一块向右 无限延伸的区域的面积。(如右下图) y=f(x) 同理可给出 (2)(-∞,b]上 f(r)dx= lim f(x)dx (3)(-∞,+∞)上 oa 若(x)在任何有限区间v,u]<(-∞,+∞)上可积,则对va∈(-∞,+∞) + X)ax f(x) dx+f()dx=lim f(x)dx+ lim f(x)dx 0 →)+0da 当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时,左边的无穷积分才收敛。 注意 ∫ f(x)dx的收敛性与收敛时的值,都与实数a的选取无关
注意： 从本质上说，当无穷积分 收敛时它是一个数（极限值）； + a (1) f (x)dx 当无穷积分 发散时它只是一个记号。 + a f (x)dx 无限延伸的区域的面积。（如右下图） 则其值就是介于曲线 ，直线 以及 轴之间那一块向右 收敛的几何意义是：若 在 上为非负连续函数， y f x x a x f x dx f x a a = = + + ( ) (2) ( ) ( ) [ , ) 同理可给出 (2) (−,b]上 − →− = b u u b f (x)dx lim f (x)dx (3) (−,+ )上 若f (x)在任何有限区间[v,u] (−,+ )上可积，则对a(− , + ) + − + − = + a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx →− →+ = + u u a a u u lim f (x)dx lim f (x)dx 当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。 注意： + − f (x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关。y = f (x) O x y a