广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）22.3 高斯公式与斯托克斯公式

§3高斯公式与斯托克斯公式 教学内容:1利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分; 2斯托克斯公式; 3空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。 教学重点:利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点:斯托克斯公式

§3 高斯公式与斯托克斯公式 教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分； 2.斯托克斯公式； 3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。 教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点：斯托克斯公式

高斯公式 1.公式:设空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面 2围成,函数P(x,y,)、Q(x,y,z)、 R(x,y,x)在Ω上具有 阶连续偏导数,则有公式 ∫+,+a)=J∫P+d+Rdd 少 高斯公式 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧

1.公式：设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面 Σ围成,函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、 R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式                dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一 、高 斯 公 式 这里是的整个边界曲面的外侧 高斯公式

2几点说明: ① Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系 ② Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面, 若不是封闭面,要添加 特殊的曲面或平面才能 用Gaus公式。 ③与格林公式的异同

x y z o 1 2 3  Dxy 2.几点说明： ①Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. ②Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面， 若不是封闭面，要添加 特殊的曲面或平面才能 用Gauss公式。 ③与格林公式的异同

④利用GauS公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P=X,0=y,r=z OP OO OR ++)v=|3coy Axdyd2=+yd=dx+Eddy 体积d+1a+dh

                  xdydz ydzdx zdxdy dv dxdydz z R y Q x P ( ) 3 ④利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P  x,Q  y, R  z    V  xdydz  ydzdx  zdxdy 3 1 体积

例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中Σ为柱面x2+y2=1及平 面z=0,了=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 x 由高斯公式:原式=0y=)dt 2丌 do drl(rsin)rdz

例1 计算曲面积分 (x  y)dxdy  ( y  z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x  y  及平 面z  0,z  3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3   由高斯公式：原式＝ ( y  z)dxdydz        2 0 3 0 1 0 ＝ d dr (rsin z)rdz 4 9 ＝