第四节 第十七章 二元菡数的泰勒公式 高阶偏导数 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
*第四节 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第十七章 一、高阶偏导数
、高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 az fr(x, y) f,(x, y) 若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导 数 a-aa xzy 2Jxx(x,y, r ox aray fry(x,y) 00z、0 ax a fr(x, y) avax dy Oy av2 =fvv(x, y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x = y = 若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z ( ) y z x ( ) x z y ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y = y y = 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z = f (x, y); = xx x y z = 2 f (x, y) = x y ( , ); 2 f x y y x z = y x = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:
类似可以定义更高阶的偏导数 例如,z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为 ox x f(x,y关于x的n-1阶偏导数,再关于y的一阶 偏导数为 aa y Ox ax" a HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 ( ) y x y z n n = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为
例5求函数z=e+2的二阶偏导数及 解 az e×2 az y 2extly ox y 2 x+2y x+2 e ax z_2e x+2 4 x+2y avOx 0z )=2e x+2y 注意:此处 但这一结论并不总成立 oxy oyo HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束
x y e 2 2 + = 例5. 求函数 x y z e +2 = . 2 3 y x z 解 : = x z = 2 2 x z ( ) 2 2 3 y x z y x x z = = y z = y x z 2 = x y z 2 = 2 2 y z 注意:此处 , 2 2 y x z x y z = 但这一结论并不总成立. x y e +2 x y e 2 2 + x y e +2 x y e 2 2 + x y e 2 2 + x y e 2 4 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及
x2+y2≠0 例如,f(x,y)={x2+y2 x-+ +4x y fr(x, y) ( ≠0 x-+ +y2=0 4x x +y2≠0 f (r,y) (x2+y2) y2=0 f3(00)=m(O,△y)=f1( △ 1 △y>0 △ △y→>0△ 者 ∫,(△x,0)-f,(0,0) 不 x fvr(0,0)= lim m 1等 △x→>0 x→>0△x HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结束
, 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 + + − − x y x y x x y y x y f y f x x y − → (0, ) (0,0) lim 0 f y (x, y) = 例如, f x (x, y) = f xy (0,0) = x f x f f y y x yx − = → ( , 0) (0,0) (0,0) lim 0 二 者 不 等 y y y − = →0 lim = −1 x x x = →0 lim =1 f (x, y) = 0, 0 2 2 x + y = , 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 + + + − x y x y x x y y y 0 , 0 2 2 x + y = , 0 2 2 2 2 2 2 + + − x y x y x y x y 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束