第四节 第十八章 条件嘏值及其求店 条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
第十八章 第四节 条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 条件极值及其求法
条件极值 极值尚无条件极值:对自变量只有定义域限制 条件极值:对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法 方法1代入法例如, 在条件o(x,y)=0下,求函数z=f(x,y)的极值 转从条件xy)=0中解出y=v( 求一元函数z=f(x,v(x)的无条件极值问题 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转 化 在条件(x, y) = 0下, 求函数 z = f (x, y)的极值 从条件(x, y) = 0中解出 y =(x) z = f (x,(x)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2拉格朗日乘数法.例如, 在条件(x,y)=0下,求函数z=f(x,y)的极值 如方法1所述,设以(x,y)=0可确定隐函数y=v(x) 则问题等价于一元函数z=f(x,y(x)的极值问题,故 极值点必满足 dz=fx+Jy dx dy=0 d dy=0故有f一9 因 x=0 dx 记 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
在条件(x, y) = 0下, 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 求函数 z = f (x, y)的极值. (x, y) = 0 y =(x), z = f (x,(x)) 例如, 故 0 d d d d = + = x y f f x z x y , d d y x x y 因 = − − = 0 y x x y f f y y x x f f = 故有 =− 机动 目录 上页 下页 返回 结束
fx+10x=0 极值点必满足{f,+19y=0 (x,y)=0 引入辅助函数F=f(x,y)+(x,y) Fr=f+no=0 则极值点满足:{F,=f,+10,=0 2=9=0 辅助函数F称为拉格朗日( Lagrange)函数利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 + = 0 x x f + = 0 y y f (x, y) = 0 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. F = f (x, y) + (x, y) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 例如,求函数u=f(x,y,z)在条件(x,y,z)=0, (x,y,z)=0下的极值 ix F=f(x, y, z)+Mo(x,y, 2)+nv(x, y, Fx=fx+193+2x=0 Fy=/y+19,+2yy=0 解方程组F2=f2+1q2+22=0 F,==0 FA,=V=0 可得到条件极值的可疑点 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. u = f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0, (x, y,z) = 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 F = f x y z + x y z + x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束