s4二重积分的变量交换 教学内容:1.二重积分的变量替换公式 2二重积分的一般变量变换 3二重积分的极坐标变换 教学重点:二重积分的变量变换(主要为线性变换 (广义)极坐标变换) 教学难点:变量变换后积分限的确定
§4 二重积分的变量交换 教学重点:二重积分的变量变换(主要为线性变换, (广义)极坐标变换) 教学内容:1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换 教学难点:变量变换后积分限的确定
二重积分的变量交换公式 1引理: 变换T:x=x(u,y,y=y(l,)将uy平面上 由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△,一对一地 映成xoy平面上的闭区域D,且满足 )x(,v),y(4,v)在△上具有一阶连续偏导数 ()在4上雅可比式J(,1)=≠0 C(2y) 则区域D的面积(D)=J(he
一、二重积分的变量交换公式 1.引理:
2二重积分的变量替换公式: 定理2113设f(x,y)在xoy平面上的有界闭区域 D上可积,变换T:x=x(l2),y=y(,).uo 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△ 地映成xoy平面上的闭区域D,且满足 (1)x(u2),y(u,)在△上具有一阶连续偏导数 (2)在△上雅可比式J(l2) ≠0 (,y) 则有』(xy)d=xymy(nm(n)hh x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值
( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . 0; ( , ) ( , ) (2) ( , ) (1) ( , ), ( , ) : ( , ), ( , ) 21.13 ( , ) = = = = f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv u v x y J u v x u v y u v xoy D D T x x u v y y u v uov f x y xoy D 则有 在 上雅可比式 在 上具有一阶连续偏导数; 地映成 平面上的闭区域 ,且满足 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一一 上可积,变换 将 定理 设 在 平面上的有界闭区域 2.二重积分的变量替换公式: x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值
3利用一般变量替换求二重积分 步骤:(1根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换; 习惯上:设x=x(l2v)2y=y(4,v) (2)求出J(4,v)= (x,y) dlu.v 若是设=l(x,y),v=y(x,y),求有两种办法 (1)先求出x=x(u,),y=y(2v),再求 ()先求出 u ,再求 (x,y) a(x,y
3.利用一般变量替换求二重积分 步骤:⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换; 习惯上:设x = x(u,v), y = y(u,v) ( , ) ( , ) (2) ( , ) u v x y J u v 求出 = 若是设u = u(x, y), v = v(x, y),求J有两种办法 (i)先求出x = x(u,v), y = y(u,v),再求J ( , ) ( , ) 1 , ( , ) ( , ) ( ) x y u v J x y u v ii 先求出 再求 =
(3)在变换下确定u,v的范围△ 把变换代入D的边界曲线中,求出△的边界曲线 作图 (4)代入变换替换公式,化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一:引入变量替换后,化为累次积分 例1:P242习题3(2) 原式=/(cos5wsin4)4sm3pcos3vddh △:0≤1≤a0s个
(3)在变换下确定u,v的范围△; 把变换代入D的边界曲线中,求出的边界曲线 作图 (4)代入变换替换公式,化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一:引入变量替换后,化为累次积分 例1:P242习题3(2) ( cos , sin )4 sin cos . 4 4 3 3 原式 = f u v u v u v vdudv 2 : 0 ,0 u a v