第三节 第十八章 多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 复习目录上页下页返回结束
第三节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第十八章
复习:平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y=f(x)在点(x,y0)有 切线方程y-1=f(xx-x) 法线方程y-y 若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0因 dy Fr(x, y) 故在点(xo,y0)有 dx Fy(x,y) 切线方程F(x2010)(x-x)+F1(x0,y0Xy-y0)=0 法线方程F,(x0yXx-x0)-F3(x0y0)(y-y0)=0 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 ( , ) 0 0 x y 切线方程 0 y − y 法线方程 0 y − y 若平面光滑曲线方程为 ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − 故在点 切线方程 法线方程 ( ) 0 ( , )( ) + Fy (x0 , y0 ) y − y 0 0 0 F x y x x x − = 0 ( )( ) 0 0 = f x x − x ( ) ( ) 1 0 0 x x f x − = − 在点 有 有 因 ( , )( ) 0 Fy (x0 , y0 )(x − x0 )− Fx x0 y0 y − y0 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面 T M 点击图中任意点动画开始或暂停 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. T M 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停
1.曲线方程为参数方程的情况 I:x=9(),y=(),2=0()M∠M 设t=0对应M(x,y,=0) t=1o+M对应M(x△x,y+△y,=0+△z) 割线MM的方程: x-ro y-VO 0 △ △ △z 上述方程之分母同除以△t,令Δt→>0,得 切线方程 y=yO (to)v()o’(t0) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( , , ) 0 0 0 0 设 t = t 对应M x y z ( , , ) 0 0 0 0 t = t + t 对应M x + x y + y z + z ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t 机动 目录 上页 下页 返回 结束T M 割线 MM的方程:
此处要求p(),v(0),O′(to)不全为0 如个别为0,则理解为分子为0 F 切线的方向向量 T=(q(o),v(0),O'(to) r(t 称为曲线的切向量 T也是法平面的法向量,因此得法平面方程 0(t0(x-x0)+v"(t0)(y-y)+O'(t0)(z-z0)=0 说明:若引进向量函数r(1)=(0(t),v(t),(),则r 为r()的矢端曲线,而在t处的导向量 r(0)=(q(o0),v(to)2O’(to) 就是该点的切向量 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
( )( ) 0 0 t x − x 此处要求 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 t t t 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . ( )( ) 0 0 + t y − y +(t0 )(z − z0 ) = 0 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 不全为0, ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T = t t t 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 r(t) = ((t), (t), (t)) , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0 而在 t 处的导向量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = t t t 就是该点的切向量. o r(t) T