§2无穷积分的性质与收敛判别 教学内容: 1.无穷积分的性质 2.无穷积分收敛的判别 教学重点:无穷积分的比较判别法与柯西判别法。 教学难点:应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。 说明:以下只给出。f(x减的性质及收敛判别,其它两种情形类似可得 无穷积分的性质 设F()=f(x),则f(x)tk收敛与否取决于F()当→>+时 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 1.无穷积分收敛的柯西准则
§2 无穷积分的性质与收敛判别 教学内容： 1. 无穷积分的性质 2. 无穷积分收敛的判别 教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。 教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。 一. 无穷积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设 = ，则 收敛与否取决于 当 → +时 + F u f x dx f x dx F u u a u a ( ) ( ) ( ) ( ) 说明：以下只给出 的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得。 + a f (x)dx 1. 无穷积分收敛的柯西准则
+00 定理1:1无穷积分f(x)d收敛的充要条件是:任给E>0, 存在G≥a,只要l1、l2>G,便有 l f(x)dx- f(x)dx ∫ f(x)dx<8 2.无穷积分的性质 性质1:若”f(x)与。f()都收敛,k、k为任意常数,则 ∫。[f(x)+k(x也收敛,且 ∫[(x)+k(x)=k厂f(x)+k”(x)d 性质2:若∫在任何有限区间[a,u上可积,a<b,则f(x)与 「。f(x1同敛态(即同时收敛或同时发散),且有 f(x )dx= f(x)dx+ f(x)dx (2) b 其中右边第一项是定积分
定理11.1： − = + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 u u u a u a a f x dx f x dx f x dx G a u u G f x dx 存在 ，只要 、 ，便有 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 2. 无穷积分的性质 + + + + + + + = + + a a a a a a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x k f x dx f x dx f x dx k k [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 也收敛，且 性质1： 若 与 都收敛， 、 为任意常数，则 性质2： 其中右边第一项是定积分。 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 若 在任何有限区间 上可积， ，则 与 + + + + = + a b b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f a u a b f x dx ( ) ( ) ( ) (2) ( ) [ , ] ( )
3.无穷积分收敛的充要条件 无穷积分f(x)收敛的充要条件是:任给e>0, 存在G≥a,只要u>G,总有 f(x)dx<8 4.无穷积分的绝对收敛与条件收敛 若无穷积分(x)收敛,则称∫(x)为绝对收敛 若∫。(x)a发散,而∫f(x)k收敛,则称∫f(x)为 条件收敛。 性质3:若f在任何有限区间an上可积,则有。/(x)收敛,则 ∫。f(x10必收敛,且有 f(x)dx< f(x)dx (3)
3. 无穷积分收敛的充要条件 + + u a f x dx G a u G f x dx ( ) ( ) 0 存在 ，只要 ，总有 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛 若无穷积分 收敛，则称 为 + + a a f (x) dx f (x)dx 若 发散，而 收敛，则称 为 + + + a a a f (x) dx f (x)dx f (x)dx 绝对收敛； 条件收敛。 性质3： + + + + a a a a f x dx f x dx f x dx f a u f x dx ( ) ( ) (3) ( ) [ , ] ( ) 亦必收敛，且有 若 在任何有限区间 上可积，则有 收敛，则
说明:性质3指出:绝对收敛的无穷积分必收敛,但反之未必。 (今后举例说明) 二.无穷积分敛散性的判别 条件:当(x)≥0时 1.无穷积分收敛的充要条件 无穷积分「f(x)dx收敛的充要条件是:「f(x)x有上界 2.无穷积分收敛的比较判别法 (1)不等式形式 定理12:设定义在a,+∞)上的两个非负函数f和g都在任何 有限区间[a,ul上可积,且满足 f(x)≤g(x),x∈[a,+∞) 则()当[8(x)收敛时,「f(x)d必收敛; (2)当f(x)k发散时,∫g(x)必发散
说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明） 二. 无穷积分敛散性的判别 条件：当f (x) 0时 1. 无穷积分收敛的充要条件 + u a a 无穷积分 f (x)dx收敛的充要条件是： f (x)dx有上界 2. 无穷积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.2： （ ）当 发散时， 必发散。 则（）当 收敛时， 必收敛； ， 有限区间 上可积，且满足 设定义在 上的两个非负函数 和 都在任何 + + + + + + a a a a f x dx g x dx g x dx f x dx f x g x x a a u a f g 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ) [ , ] [ , )
定理指出:大收敛则小收敛;小发散则大发散。(与级数类似) 例:讨论。订2的收敛性 解:先讨论!。计+x的收敛性 sIn x +∞ 由于 ,x∈[0,+∞),以及 ), x 收敛, 1+x21+x 01+X 由定理11.2知道 oo sin x 收敛 1+x 即,x绝对收敛,从而「xaw收敛由性质3) 1+x 1+x (2)极限形式 推论1:设g定义在[a,+∞)上,f(x)≥0,8(x)>0,且它们都在 任何有限区间[a,u上可积,若有linf(x) C,则有:
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似） 例1： 讨论 的收敛性。 + 0 + 2 1 sin dx x x 解： 先讨论 的收敛性： + 0 + 2 1 sin dx x x + = + + + + 0 2 2 2 1 2 1 , [0, ) 1 1 1 sin 由于 ，以及 收敛， dx x x x x x + 0 + 2 1 sin 由定理11.2知道 dx收敛。 x x 即 绝对收敛，从而 必收敛。(由性质3） 1 sin 1 sin 0 0 2 2 + + + + dx x x dx x x （2）极限形式 推论1： 任何有限区间 上可积，若有 则有： 设 和 定义在 上 且它们都在 , ( ) ( ) [ , ] lim [ , ) , ( ) 0, ( ) 0, c g x f x a u f g a f x g x x = + →+